Đến nội dung

Hình ảnh

Đa thức -Tuyển tập các bài toán sưu tầm từ Mathlinks.ro

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 32 trả lời

#21
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Bài toán 14: Có tồn tại 1 dãy số thực và khác không $a_1;a_2;...;a_{n}$ thỏa với mỗi $n \in \mathbb{N}$ thì đa thức $ a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n} $ có đúng $n$ nghiệm trên $\mathbb{R}$.

 

Bài toán 15: Tìm tất cả các nghiệm đa thức của PT hàm $ f(x)f(x+1)=f(x^2+x+1) $.

Lời giải bài toán 14: Câu trả lời là có tồn tại dãy số như vậy và ta xây dựng nó bằng quy nạp.

 

Chọn $a_0=-1$ và $a_1=1$ sao cho thỏa mãn tính chất trên với $n=1$.

 

Đặt $P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ với $n$ nghiệm phân biệt là $r_1<r_2<...<r_{n}$.

 

Chọn $x_0<r_1$.Cho $x_k \in (r_k;r_{k+1});\forall k \in [1;n-1]$ là giá trị mà $|P_{n}(x)|$ đạt giá trị lớn nhất. Cho $x_n>r_n$.

 

$P_{n}(x_k) \ne 0;\forall k \in [0;n]$ và ta có thể chọn $a>0$ sao cho $a|x_k|^{n+1}<|P_{n}(x_k)|;\forall k \in [0;n]$.

 

Nếu $P_n(x_n)>0$,đặt $a_{n+1}=-a$.

Nếu $P_n(x_n)<0$,đặt $a_{n+1}=a$

 

$a|x_k|^{n+1}<|P_n(x_k)|$ chứng tỏ rằng $P_{n+1}(x_k)=P_n(x_k)+a_{n+1}x^{n+1}$ luôn khác không và có cùng dấu với $P_n(x_k)$ và $ \lim_{x\to+\infty}P_{n+1}(x) $ có dấu khác với $P_{n+1}(x_n)$.Do đó:

 

$P_{n+1}(x)$ có 1 nghiệm thuộc $(x_k;x_{k+1});\forall k \in [0;n-1]$ và 1 nghiệm lớn hơn $x_n$.

 

Lời giải bài toán 15: 

Thay $x$ bởi $0$,ta có $ f(0)f(1) = f(1) $.Do đó $f(1)=0$ hay $f(0)=1$.Nếu $f(1)=0$,thay $x$ bởi $1$ thì $f(3)=0$.Lặp lại liên tục như vậy,ta sẽ có $f(a_n)=0;\forall n$ với $a_0=1$ và $a_{n+1}=a_n^2+a_n+1>a_n$.Điều này có nghĩa là $f \equiv 0$.

 

Kể từ đây,ta giả sử $f(1) \ne 0$,suy ra $f(0)=1$.Nếu $f$ là đa thức hằng thì $f \equiv 1$.Bây giờ,giả sử $\deg f(x)>0$.Do đó $f(x)$ có 1 nghiệm lớn nhất là $\alpha$.Hay:

\[ f\left(\alpha^2-\alpha+1\right) = f(\alpha-1)f(\alpha) = 0 \]

 

Và:

\[ f\left(\alpha^2+\alpha+1\right) = f(\alpha)f(\alpha+1) = 0\,. \]

 

Suy ra $\alpha^2-\alpha+1$ và $\alpha^2+\alpha+1$ đều là nghiệm của $f(x)$.Tuy nhiên:

\[ \left|\alpha^2-\alpha+1\right|+\left|\alpha^2+\alpha+1\right|\geq\Big|\left(\alpha^2-\alpha+1\right)-\left(\alpha^2+\alpha+1\right)\Big| = 2|\alpha|\,. \]

 

$\alpha$ là nghiệm lớn nhất chứng tỏ rằng $ |\alpha| =\left|\alpha^2-\alpha+1\right| =\left|\alpha^2+\alpha+1\right| $ và $ \alpha^2-\alpha+1 =-\lambda\left(\alpha^2+\alpha+1\right) $ với $\lambda>0$.Do đó $\lambda=1$ và $\alpha=\pm i$.

 

Ta có 2 nhận xét sau:

\[ f(-\alpha)f(-\alpha-1) = f\left(\alpha^2+\alpha+1\right) = 0 \]

 

Và:

\[ f(-\alpha)f(-\alpha+1) = f\left(\alpha^2-\alpha+1\right) = 0\,. \]

 

Do cả $-\alpha-1$ và $-\alpha+1$ đều có độ lớn lớn hơn $\alpha= \pm i$.,nên ta suy ra được $f(-\alpha)=0$.Hay $\pm i$ đều là nghiệm của $f$.Từ đây ta có thể khẳng định:

\[ f(x) =\left(x^2+1\right)f_1(x)\,, \]

 

Với 1 đa thức $f_1(x)$ nào đó.Chúng ta thấy rằng $f_1(x)$ đều thỏa mãn PT hàm ở trên.Do đó nếu $f_1 \not \equiv 1$ thì:

\[ f_1(x) =\left(x^2+1\right)f_2(x)\,. \]

 

Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi $f_{k} \equiv 1$,tức là:

\[ \boxed{\displaystyle f(x) =\left(x^2+1\right)^k\,. }\]

 

====================

Đề mới:

 

Bài toán 16: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa $ xP(x-1)=(x-26)P(x) ;\forall x \in \mathbb{R}$

 

Bài toán 17:

  1. Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x)$ thỏa $P(x^3+1)=P((x+1)^3)$
  2. Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x)$ thỏa $P(x^3+1)=P^3(x+1)$

    -27-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-06-2013 - 20:40

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#22
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

 

Bài toán 16: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa $ xP(x-1)=(x-26)P(x) ;\forall x \in \mathbb{R}$

 

$P(x)$ là hằng số thì $P(x)=0$.Nếu $P(x)$ khác hàng số.

 

Ta có $xP(x-1)=(x-26)P(x)$.Cho $x=0$ suy ra $P(0)=0$.

 

Cho $x=26$ ta có $P(25)=0$

 

Cho $x=25$ $\Rightarrow 25P(24)=-P(25)=0$.Hay $P(24)=0$.

 

Lặp lại quá trình trên ta có $P(x)=0$ với $x=\overline{0,25}$.Đo đó ta có 

 

$P(x)=x(x-1)(x-2)..(x-25)Q(x)$.Thay vào giả thiết ta có:$Q(x-1)=Q(x)$.Suy ra $Q(x)=const$.

 

Vậy $P(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-25)$ với $a\in R$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 11-06-2013 - 08:15


#23
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Bài $17$

Do $deg P>0$

Đặt $ P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k $ với $a_n\neq 0$

Xét $2$ hạng tử có bậc cao nhất trong $2$ đa thức ta có 

Trong $ P(x^3+1) $ là $ a_nx^{3n}+(na_n+a_{n-1})x^{3n-3} $

Trong $P((x+1)^3)$ là $ a_nx^{3n}+3na_nx^{3n-1} $

Do đó $P(x^3+1)\neq P((x+1)^3)$

Nên không tồn tại đa thức thỏa đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 11-06-2013 - 10:18

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#24
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Vậy $P(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-25)$ với $a\in R$

Chỗ này nên kết luận thêm $P(x)=0$. :P

 



Bài $17$

Do $deg P>0$

Đặt $ P(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k $ với $a_n\neq 0$

Xét $2$ hạng tử có bậc cao nhất trong $2$ đa thức ta có 

Trong $ P(x^3+1) $ là $ a_nx^{3n}+(na_n+a_{n-1})x^{3n-3} $

Trong $P((x+1)^3)$ là $ a_nx^{3n}+3na_nx^{3n-1} $

Do đó $P(x^3+1)\neq P((x+1)^3)$

Nên không tồn tại đa thức thỏa đề

Cách làm này của barcavodich có thể áp dụng để giải cho ý 2 của bài 17,bạn thử suy nghĩ xem :)

 

====================

Đề mới:

 

Bài toán 18: Tìm tất cả các đa thức $f,h$ sao cho $f(2x)=h(f(t))$.

 

Bài toán 19: Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là 1 đa thức monic thỏa mãn sao cho tất cả các nghiệm(kể cả nghiệm phức) của nó đều nằm trên vòng tròn đơn vị.Chứng minh rằng các nghiệm đó đều là trung bình căn đơn vị (roots of unity).

Spoiler

-43-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-06-2013 - 11:45

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#25
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài toán 16: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa $ xP(x-1)=(x-26)P(x) ;\forall x \in \mathbb{R}$

 

Bài tổng quát:

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đồng nhất thức:

$xP(x-1)=(x-k)P(x)$ (Trong đó k là một số tự nhiên lớn hơn 1)


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#26
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài toán 18: Tìm tất cả các đa thức $f,h$ sao cho $f(2x)=h(f(t))$.

 

Bài toán 19: Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ là 1 đa thức monic thỏa mãn sao cho tất cả các nghiệm(kể cả nghiệm phức) của nó đều nằm trên vòng tròn đơn vị.Chứng minh rằng các nghiệm đó đều là trung bình căn đơn vị (roots of unity).

Spoiler

-43-

Lời giải bài toán 18:

Do $f(2x)=h(f(x))$ nên $\deg f=\deg h.\deg f$,do đó:

 

Hoặc là $f(x)=c$ và $h(c)=c$.Hoặc là $\deg f>0$ và $h(x)=ax+b$,suy ra $ f(x)=\sum_{k=0}^{n>0}a_kx^k $.

 

So sánh hệ số $x^{n}$ ở 2 vế của $f(2x)=af(x)+b$,ta có $a=2^{n}$.

 

So sánh hệ số $x^{k};k \in (0;n)$ ở 2 vế của $f(2x)=af(x)+b$,ta có $a_k=0$.

 

So sánh hệ số tự do ở 2 vế của $f(2x)=af(x)+b$,ta có $a_0=2^{k}a_0+b$.

 

Vậy các đa thức cần tìm là:

 

$(\star):f(x)=c$ và $h(x)=(x-c)P(x)+c$ với $P(x)$ là 1 đa thức bất kỳ.

$(\star):f(x)=ax^{n}+c$ và $h(x)=2^{n}x+c(1-2^{n})$ với $n>0,a \ne 0$ và $c$ là số thực bất kỳ.

 

Lời giải bài toán 19:

Nếu $z_{j}$ là các nghiệm của $P(x)$ thì với mỗi $m \ge 1,z_{j}^{m}$  là nghiệm của của các đa thức monic có cùng bậc với các hệ số nguyên không quá lớn (Viète+định lý tổng đối xứng).Nhưng chỉ có hữu hạn các đa thức như vậy,do đó cũng chỉ có hữu hạn các giá trị lũy thừa có thể có. Và phần còn lại đã rõ.

 

====================

Đề mới:

 

Bài toán 20: Cho $F$ là tập các đa thức $\Gamma$ có hệ số nguyên và PT $\Gamma(x)=1$ có nghiệm nguyên.Cho trước 1 số nguyên dương $k$,tìm giá trị nhỏ nhất của $m(k)>1$ thỏa mãn tồn tại $\Gamma \in F$ sao cho PT $\Gamma (x)=m(k)$ có đúng $k$ nghiệm nguyên phân biệt.

 

Bài toán 21: Giả sử $p(x)$  là 1 đa thức có giá trị nguyên thỏa mãn tồn tại 1 số nguyên dương $k$  mà không có số nguyên $p(1),p(2),...,p(k)$ chia hết cho $k$.Chứng minh $p(x)$ không có nghiệm nguyên.

-46-


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#27
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

Bài toán 21: Giả sử $p(x)$  là 1 đa thức có giá trị nguyên thỏa mãn tồn tại 1 số nguyên dương $k$  mà không có số nguyên $p(1),p(2),...,p(k)$ chia hết cho $k$.Chứng minh $p(x)$ không có nghiệm nguyên.

-46-

Bài toán này rất quen thuộc:Ta chứng minh bằng phản chứng như sau:

Giả sử $p(x)$ có nghiệm nguyên $t$.

Theo một bổ đề quen thuộc: $a-b|p(a)-p(b)\forall a,b\in Z$.

Do đó: $i-t|p(i)-p(t)=p(i)\forall i\in {1,2,..,k}$.

Mặt khác theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại $i$ sao cho $k|i-t$.

Khi đó $k|i-t$ nên $k|p(i)$,mâu thuẫn với bài toán.

Vậy đa thức $p(x)$ không có nghiệm nguyên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 17-06-2013 - 14:34


#28
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

@Hoàn:

 

Bài toán 22: Cho các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ có hệ số nguyên.Cho $a_n=n!+n$.Chứng minh rằng nếu $\frac{P(a_n)}{Q(a_n)} \in \mathbb{Z};\forall n$ thì $\frac{P(n)}{Q(n)} \in \mathbb{Z};\forall n$ sao cho $Q(n) \ne 0$.

-49-

Note


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2013 - 17:34

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#29
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết


@Hoàn:

 

Bài toán 22: Cho các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ có hệ số nguyên.Cho $a_n=n!+n$.Chứng minh rằng nếu $\frac{P(a_n)}{Q(a_n)} \in \mathbb{Z};\forall n$ thì $\frac{P(n)}{Q(n)} \in \mathbb{Z};\forall n$ sao cho $Q(n) \ne 0$.

-49-

Note
$\lim (n!+n)=+ \infty$

Bài này em làm thế này không biết có đúng không nữa... :(

Ta có thể giả sử hệ số cao nhất của $Q(x)$ dương vì nếu không ta có thể đổi dấu cả $P(x)$ và $Q(x)$.

Thực hiện phép chia đa thức ta có:

$P(x)=Q(x)H(x)+R(x)$ trong đó $degQ>degR$.Do đó $Q(x)-R(x)$ là đa thức có hệ số cao nhất dương.Nên tồn tại $N_0$ đủ lớn để với mọi $x>N_0$ thì $R(x)<Q(x)$.

Do $\lim (n!+n)=+ \infty$,nên tồn tại $N$ đủ lớn để $R(n!+n)<Q(n!+n) \forall n!+n>N$.

Khi đó do $Q(n!+n)|P(n!+n)\Rightarrow Q(n!+n)|R(n!+n)$. Nên $R(n!+n)=0$,với mọi $n!+n>N$.Do đó đa thức $R(x)$ có vô số nghiệm,nên $R(x)=0$.Hay $Q(x)|P(x)$,hay ta có Dpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 18-06-2013 - 20:39


#30
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài toán 20: Cho $F$ là tập các đa thức $\Gamma$ có hệ số nguyên và PT $\Gamma(x)=1$ có nghiệm nguyên.Cho trước 1 số nguyên dương $k$,tìm giá trị nhỏ nhất của $m(k)>1$ thỏa mãn tồn tại $\Gamma \in F$ sao cho PT $\Gamma (x)=m(k)$ có đúng $k$ nghiệm nguyên phân biệt.

Lời giải bài toán 20

 

Đề mới:

 

Bài toán 23: Cho $p$ là số nguyên tố và $a \in \mathbb{Z}$.Chứng minh nếu đa thức $x^{p}-a$ khả quy thì $a=b^{p}$ với $b$ là 1 số nào đó.

 

Bài toán 24: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,tồn tại các đa thức $P(x)$ có bậc $n$ và $Q(x)$ có bậc $n-1$ thỏa $ (P(x))^2-1=(x^2-1)(Q(x))^2 $

-67-

 

====================

Chú ý: Kể từ giờ,các bạn tham gia topic nếu post lời giải quá dài thì hãy đặt nó trong cặp thẻ sau:

[hide="Lời giải bài toán"]<Nội dung>[/hide]

Kết quả :

Lời giải bài toán
để load trang topic và công thức Toán nhanh hơn và tăng thẩm mỹ cho topic.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#31
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

 

 

Đề mới:

 

Bài toán 23: Cho $p$ là số nguyên tố và $a \in \mathbb{Z}$.Chứng minh nếu đa thức $x^{p}-a$ khả quy thì $a=b^{p}$ với $b$ là 1 số nào đó.

 

Bài toán 24: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,tồn tại các đa thức $P(x)$ có bậc $n$ và $Q(x)$ có bậc $n-1$ thỏa $ (P(x))^2-1=(x^2-1)(Q(x))^2 $

 

 

Bài toán 24:

Bản chất của nó chỉ là pt pell với đa thức :))

Phương trình tương đương :

$$(P(x))^2-(x^2-1).(Q(x))^2=1$$

Coi đây là 1 pt pell dạng $a^2-D.b^2=1$ với $D=x^2-1$ không phải số chính phương (để pt có nghiệm). Ta có nghiệm khởi đầu là $P(x)=x,Q(x)=1$ nên toàn bộ nghiệm nó được xác định the0 công thức :

$$P_{n}(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n}+(x-\sqrt{x^2-1})^{n}}{2}$$

$$Q_{n}(x)=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n}-(x-\sqrt{x^2-1})^{n}}{2\sqrt{x^2-1}}$$

Chú ý khai triển và đạo hàm, chúng ta có 1 kết quả đẹp mắt :) $P'(x)=n.Q(x)$.

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#32
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Bài toán 24: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,tồn tại các đa thức $P(x)$ có bậc $n$ và $Q(x)$ có bậc $n-1$ thỏa $ (P(x))^2-1=(x^2-1)(Q(x))^2 $

-67-

Lời giải bài toán 24

 

@Đạt

 

Bài toán 25: Giả sử đa thức $P \in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(0)=1$ và với $z \in \mathbb{C}$ có $|z|=1$ thì $|P(z)|=1$.Chứng minh rằng $P(z)=1;\forall z \in \mathbb{C}$.

-69-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-06-2013 - 18:09

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#33
lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

Bài 14* ( Prasolov) : Cho $0=m_0<m_1<m_2<........<m_n$ và  $m_i$  đồng dư  $i$ mod 2. Khi đó đa thức thức ở bài 14 thay bằng  $m_1,m_2,.......m_n$ ở số mũ có nhiều nhất n nghiệm . Từ bài này , ta có thể có nói là không tồn tại :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 18-05-2017 - 00:33





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh