Đến nội dung


Hình ảnh

Các bài toán số học chưa có lời giải


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-03-2013 - 23:04

Các bạn bấm vào link các bài để thảo luận, những bài toán đã được giải mình sẽ đánh dấu đỏ. Thân :")
Bài 1.
CmR: Với $n \in N^{*}$
$$\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\varphi(n)}{2^n-1}<2$$
Bài 2.
Cho dãy số nguyên $\{a_i\}^{n}_{i=1}$ thỏa mãn $a_{i_{1}}+a_{i_{1}}+....+a_{i_{k}}\neq 0\, \forall 1\leq i_1<i_2<...<i_{k}\leq n$.
Chứng minh ta có thể phân hoạch $\mathbb{N}^{*}$ thành 1 số tập hữu hạn sa0 ch0 $\sum^{n}_{i=1}a_i x_i\neq 0$ nếu $\{x_i\}^{n}_{i=1}$ thuộc cùng 1 tập.
Bài 3.
Cho $P(x)$ là đa thức nguyên ; $P(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ sao cho
$\forall n \in \mathbb{N^{*}}$ thì $\varphi(n)|\varphi(P(n))$.
Bài 4.
Xác định tất cả các số nguyên $n>2$ thỏa $\frac{1}{2}\varphi (n)\equiv 1 \pmod 6$
Bài 5.
Tìm số tự nhiên n sao cho
$\varphi ({{n}^{2}}+1)=6n$$
Bài 6.
Tìm nghiệm nguyên:
$x^{y}-y^{x}=x+y$
Bài 7.
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2}-14xy+y^{2}+12= 0$
Bài 8.
Cho 4 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau lập thành 1 cấp số cộng với công sai khác 0.Không phải tất cả chúng đều chính phương nhưng tích của chúng là 1 số chính phương. Chứng minh tích của chúng chia hết cho $2520^{2}$
Bài 9.
Cmr: 1 số hữu tỉ luôn có thể biểu diễn được dưới dạng tổng lập phương của 3 sô hữu tỉ
Bài 10.
Giả sử $x_1,x_2,x_3,...,x_{n}$ là những số thực thoả mãn
$\left | x_1+x_2+x_3+...+x_n \right |=1$
và $\left | x_i \right |\leq \frac{n+1}{2}$ với i=1,2,3,...,n
Hãy chứng tỏ rằng tồn tại một hoán vị $y_1,y_2,...,y_n$ của $x_1,x_2,...,x_n$
sao cho $\left | y_1+2y_2+...+ny_n \right |\leq \frac{n+1}{2}$
Bài 11.
Cho 1000 điểm $M_{i},i=\overline{1,1000}$ trên mặt phẳng.Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý.chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho:
$SM_{1}+SM_{2}+...+SM_{100}\geq 1000$
Bài 12.
tìm tất cả các số nguyên dương m>1 sao cho tồn tại đa thức f(x) với các hệ số nguyên thỏa:
i)với mỗi a nguyên,f(a)$\equiv$0 hoặc 1 mod m
ii)tồn tại u,v nguyên sao cho f(u)$\equiv$0,f(v)$\equiv$1 mod m
Bài 13.
Giả sử $a$ là số nguyên có 4 chữ số khác nhau. Ta lập số $a'$ bằng cách xếp các chữ số của $a$ theo thứ tự giảm dần, $a''$ là số gồm các chữ số của $a$ theo thứ tự tăng dần. Đặt $T(a)=a'-a''$
Chứng minh rằng dãy $a, T(a), T(T(a)),..$ sẽ lặp vô hạn kể từ 1 lúc nào đó.

Bài 14.
Cho $a,b,c\in N$.Cho dãy $(x_{n})_{n\geq 0}$ bởi :$ x_{0}=4$,$x_{1}=0$,$x_{2}=2c$,$x_{3}=3b$ và $x_{n+3}=a.x_{n-1}+b.x_{n}+c.x_{n+1}$ .Cmr: với mỗi $p\in P$ thì với số $m\in N$ bất kì nào thì số $x_{p^{m}}$ chia hết cho $p$
Bài 15.
Tìm số nguyên dương $m$ bé nhất sao cho tồn tại $a>1$ để hệ phương trình đồng dư
\[\left\{ \begin{array}{l}
x \equiv {a^3}x\bmod m\\
y \equiv {a^5}y\bmod m\\
z \equiv {a^7}z\bmod m
\end{array} \right.\]

thỏa mãn với mọi $x,y,z\in \mathbb{N}$
Bài 16.
Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$ thỏa $a+b+c+d\vdots 4$, $ab+bc+cd+da+ac+bd\vdots 2$
Chứng minh rằng $$\frac{9{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}}{16}-\left( ab+bc+cd+da+ac+bd \right)$$ là tổng của 3 số chính phương.
Bài 17.
Tìm một số tự nhiên $x$ khác $0$ sao cho $x + \frac{1}{2}.x + \frac{1}{3}.x + \frac{1}{4}.x + ... + \frac{1}{1000}.x$ là bình phương của một số tự nhiên khác $0$.
Bài 18.
Kí hiệu $v(a)$ là số mũ của $2$ trong $a \in \mathbb{N}$. Đặt $m(a;b)=\min \lbrace {v(a);v(b)} \rbrace$.
Xác định dãy $(a_n)$ theo công thức sau:
$(1) \quad a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}\,\,\forall n \in \mathbb{N}^*$.
$(2) \quad m(a_0;a_1)<2011$.
Đặt $k=m(a_0;a_1);p=3.2^{2010-k}$. Chứng minh rằng:
\[ a_{n+p} \equiv a_n \pmod{2^{2011}}\]
Bài 19.
Cho $a;n\in \mathbb{Z}_+$ và $a;n\geq 2$
Giả sử tập $B=\left \{ b_1;b_2;...;b_n \right \}\subset \mathbb{N}$
Chứng minh rằng
$B$ là hệ thặng dư đầy đủ $\mod n$ khi và chỉ khi $\sum ^{n-1}_{i=0}a^i|\sum ^n_{j=1}a^{b_j}$

Bài 20.
$\fbox{1 }$ Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n \left\lfloor\dfrac{1}{2}+\dfrac{k}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{3}\right\rfloor$


$\fbox{2 }$ Chứng minh đẳng thức:
$\sum_{k=1}^n \left\lfloor\dfrac{1}{2}+\dfrac{k^3}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \dfrac{k^3}{3}\right\rfloor$
Bài 21.
Cho dãy số x_{n} xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} y_{1}=y_{2}=1\\ y_{n+2}=(4k-5)y_{n+1}- y_{n}+4-2k \forall n\geqslant 1 \end{matrix}\right.$
TÌm số nguyên k sao cho mỗi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Bài 22.
Cho $p$, $q$, $r$ là các số nguyên tố phân biệt và $A=${$p^aq^br^c: 0\leq a,b,c \leq5$}.
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên $n$ thỏa mọi tập con $n$ phần tử của tập $A$ chứa $2$ phần tử $x,y$ thỏa mãn $x\neq y$ và $y | x$.
Bài 23.
Trong mặt phẳng cho 10 điểm trong đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ có độ đài là một số nguyên dương. CMR: có ít nhất 7 đoạn thẳng có 2 đầu mút là các điểm trong 10 điểm đã cho có độ dài là một số nguyên dương chia hết cho 3
Bài 24.
Với $n \in \mathbb Z$

Rút gọn biểu thức sau:

$A=\left\lfloor\dfrac{8n+13}{25}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n-12-\left\lfloor\frac{n-17}{25}\right\rfloor}{3}\right\rfloor$
Bài 25.
Tìm mọi số nguyên tố lẻ $p$ sao cho hai số $1+p+p^2+ \cdots +p^{p-2}+p^{p-1}$ và $1-p+p^2+ \cdots -p^{p-2}+p^{p-1}$ là số nguyên tố.
Bài 26.
Tìm các số nguyên dương $a,b,c,m,n$ thỏa \[\left\{ \begin{array}{l}
a \le b \le c \le d = {n^2}\\
a + b + c + d = {m^2}\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 2021
\end{array} \right.\]
Bài 27.
Tìm số nguyên tố p sao cho với n là số nguyên dương>2 cho trước;$(n;p) = 1$; ta có ${a^n} \equiv 1(\bmod {p^n}) \Rightarrow a \equiv 1(\bmod {p^{n - 1}}),\forall a \in {N^*}$
Bài 28.
Cho dãy số nhận các giá trị trong các số 0,1,2,..k-1 được định nghĩa như sau:${a_1} = 1;{a_n} \equiv {a_{n - 1}} + n(\bmod k)$.Tìm k để dãy nhận tất cả k giá trị 0,1,2...,k-1.
Bài 29.
Tính $\sum\limits_{i = 0}^{\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor } {C_{n - i + 1}^i} $
Bài 30.
Tìm tất cả các số thực $r\neq 1$ sao cho $r^{\frac{1}{r-1}}$ là số hữu tỉ.
Bài 31.
Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng ta luôn sắp được các số 1, 2, …, p-1 trên một vòng tròn sao cho với 3 số a, b, c liên tiếp ta luôn có ac – b2 chia hết cho p.
Bài 32.
Cho 2 số nguyên dương $a>b>1$ trong đó b là một số lẻ và n là một số nguyên dương. Chứng minh nếu $b^n|a^n-1$ thì $a^b>\frac{3^n}{n}$
Bài 33.
Cho p là SNT lẻ. CMR:
$$p^2| \sum_{i=0}^{p-1} i^{p-1}+(p-1)!(p-1)$$
Bài 34.
Một tập $M \subseteq \mathbb{N^*}$ được gọi là đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương $N, k$ sao cho với mọi $N>k$ thì $k|n$ khi và chỉ khi $n \subset M$. Biết rằng $M$ là 1 tập con khác rỗng thỏa mãn tính chất $a+b \subset M$ với mọi $a, b \subset M$.
CMR: $M$ là tập tốt
Bài 35.
tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $100^{100^{...^{100}}} $(gồm n số 100) lớn hơn $3^{3^{...^{3}}}$(có 100 số 3)
Bài 36.
p là số nguyên tố lẻ cm
a)$\binom{2}{p}=\prod_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}2cos\frac{2\pi j}{p}$
b)$\binom{3}{p}=\prod_{j=1}^{\frac{p-1}{2}}(3-4sin^{2}\frac{2\pi j}{p})$
Bài 37.
cho (RR) là số các cặp (n,n+1) trong tập 1,2,..p-1 sao cho n,n+1 đều là thặng dư toàn phương mod p.cho (NR) là số các cặp (n,n+1) trong tập 1,2,..p-1 sao cho n là phi thặng dư toàn phương mod p,n+1 là thặng dư toàn phương mod p.tương tự ta định nghĩa cho (RN), (NN).
cm
a) (RR)+ (NN)-(NR)-(RN)=$\sum_{n=1}^{p-1}\frac{n(n+1)}{p}$
từ đó suy ra tổng này bằng -1
b)(RR)=$\frac{1}{4}(p-4-e)$ trong đó e=$(-1)^{\frac{p-1}{2}}$
Bài 38.
cmr với mọi số nguyên tố p>7 ,tồn tại số nguyên dương n và các số nguyên$ x_{1};x_{2};....x_{n};y_{1};y_{2};...;y_{n}$ không chia hết cho p thỏa hệ
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\equiv x_{2}^{2}(mod p)
x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\equiv x_{3}^{2}(mod p)
......
x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\equiv x_{1}^{2}(mod p)$
Bài 39.
cmr hệ

$x^{6}+x^{3}+x^{3}y+y=147^{157}$
$x^{3}+x^{3}y+y^{2}+y+z^{9}=157^{147}$
không có nghiệm nguyên
Bài 40.
Cho dãy số $ x_{1} = 1, x_{2} = 0.5 $ và $x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{4x_{n}x_{n-1}}$

CMR: $ \sum_{k = 1}^{2012} \frac{1}{x_{n}x_{n+2}} < 4 $
Bài 41.
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho tồn tại các số nguyên ${a_1};{a_2};...{a_n}$ thỏa $n = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} = {a_1}{a_2}...{a_n}$
Bài 42.
Với mọi số nguyên tố p không nhỏ hơn 3 đặt: $F(p) = \,\sum\limits_{k = 1}^{\frac{{p - 1}}{2}} {{k^{120}}} ,\,\,f(p) = \frac{1}{2} - \left\{ {\frac{{F(p)}}{p}} \right\}$. Trong đó $\left\{ x \right\} = x - \left[ x \right ]$. Hãy tìm tất cả các giá trị của f(p).
Bài 43.
Chứng minh rằng nếu tồn tại $ a;b\in\mathbb{Z}^{+} $ sao cho $ \frac{(a-b)^{2}+m}{pab-q}= k (m\in\mathbb{N}^{*}) $ với $p,q$ được xác định như trên thì giá trị của $k$ thuộc 1 tập xác định.
Bài 44.
Tìm tất cả những số nguyên dương $n$ sao cho: Tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn:
$ \dfrac{1}{2^{a_1}} + \dfrac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{a_n}} = \dfrac{1}{3^{a_1}} + \dfrac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \dfrac{n}{3^{a_n}} = 1.$
Bài 45.

CM: $2^{p_1.p_2..p_n} +1$ có ít nhất $4^n$ ước số, với $p_i$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.

- MOSP-

Câu hỏi đặt ra là ta có thể chứng minh bài toán với một con số lớn hơn $4^n$ không ??
Bài 46.
Cho $p$ là số nguyên tố sao cho: $p^2 | 2^p-2$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ Chứng minh rằng: $2^q \geq (6p)^p$
Bài 47.
Tìm các bộ 4 số sắp xếp theo thứ tự $(x,y,z,w)$ của các số nguyên với $0\leq x,y,z,w\leq 36$ để $$x^2+y^2\equiv z^3+w^3(\bmod 37)$$
Bài 48.
Cho $ x,y,z $ là các số nguyên dương.Giải phương trình sau:
$$ x^2+y^2=z! $$
Bài 49.
Cho $p$ là một số nguyên tố, cho tập $G=(r_1,r_2,...,r_k)$ thỏa tính chất sau:
$0<r_i<p$ và $r_ir_j \equiv x \in G$ (mod $p$) với mọi $1 \le i,j \le k$
Đặt $a= \prod_{i=1}^{k}r_i,b= \prod_{0<r_j<\frac{p}{2}}r_j$. Chứng minh rằng:
a) $a \equiv (-1)^{k+1}$ (mod $p$)
b) Nếu $k=2h$,$h$ lẻ thì $b^2 \equiv 1$ (mod $p$)
c) Nếu $1 \le r_i \le \frac{p-1}{2}$ với mọi $1 \le i \le k$ thì $a \equiv 1$ (mod $p$)
Bài 50.
Có hay không hai số nguyên dương $m,n$ sao cho tồn tại $2012$ số nguyên dương $x$ sao cho $m-x^2$ và $n-x^2$ là số chính phương ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-03-2013 - 22:42

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 25-03-2013 - 13:28

Tiếp tục........

 

Bài 51: Chứng minh rằng: $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ >$10^{2002}$

 

Bài 52: Gọi hàm $int()$ là hàm lấy giá trị phần nguyên của một số.Giải phương trình:

a)$int(x^2)-int(x)=int(x^2-x)$ với $x\epsilon R$ thỏa $x^2 \leq 1$
b)$int(x^2)-int(x)=int(x^2-x)$ với $x\epsilon R$

 

Bài 53:What is the smallest positive common difference of a 6-term arithmetic progression consisting entirely of (positive) prime numbers?

 

Bài 54:   CM: $2^{p_1.p_2..p_n} +1$ có ít nhất $4^n$ ước số, với $p_i$ là số nguyên tố lớn hơn $3$.Câu hỏi đặt ra là ta có thể chứng minh bài toán với một con số lớn hơn $4^n$ không ??

 

Bài 55: Cho $p$ là số nguyên tố sao cho: $p^2 | 2^p-2$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ Chứng minh rằng: $2^q \geq (6p)^p$

 

Bài 56:Chứng minh rằng:Tồn tại vô hạn cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho :$ ab | a^8 + b^4 +1$

 

Bài 57: Tìm $n$ nguyên dương sao cho: $3^n+13$ là số chính phương!

 

Bài 58Tìm các bộ 4 số sắp xếp theo thứ tự $(x,y,z,w)$ của các số nguyên với $0\leq x,y,z,w\leq 36$ để $$x^2+y^2\equiv z^3+w^3(\bmod 37)$$

 

Bài 59: Với $n>5$ có thể tình được hay không 1 tập hợp nhân là tập hợp gồm $n$ phần tử trong đó tổng của 2 phần tử bất kỳ khi chia cho $\frac{n(n-1)}{2}$ luôn tạo ra các số dư khác nhau

 

Bài 60: Chứng minh rằng các số nguyên dương n và n+k , trong đó n > k, k là số nguyên dương chẵn, đều là số nguyên tố nếu và chỉ nếu :

$(k!)^2[(n-1)! +1]+n(k!-1)(k-1)! \equiv 0 \pmod {n(n+k)}$

 

Bài 61:Xác định mọi hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ thỏa mãn: Với mỗi cặp số nguyên $m$ và $n$ (không nhất thiết phải khác nhau) $\mathrm{gcd}(m, n)$ là ước của $f(m) + f(n)$.

 

Bài 62: Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$, $x,y,z\in\mathbb Z$, $x^2 + y^2 =z^{\frac{p+1}{2}}$ và $(x,y)=1$. Chứng minh $xy$ chia hết cho $p$

 

Bài 63Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$, $x,y,z\in\mathbb Z$, $x^2 + y^2 =z^{\frac{p+1}{2}}$ và $(x,y)=1$. Chứng minh $xy$ chia hết cho $p$.

 

Bài 64Tồn tại chăng vô hạn $\Delta ABC$ thoả mãn độ dài $3$ cạnh là những số nguyên dương lập thành cấp số cộng $AB<BC<CA$ , đồng thời độ dài đượng cao tương ứng cạnh $BC$ và diện tích tam giác đều là những số nguyên dương.

 

Bài 65: Tìm tất cả nghiệm thực thỏa mãn hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{j = 1}^k {{x_j}} = k}\\ {\sum\limits_{j = 1}^k {x_j^n} = \sum\limits_{j = 1}^k {x_j^{n - 1}} } \end{array}} \right.{\mkern 1mu} \,\,\,\,\left( {\,j,k,n \in \mathbb {N^*}} \right)\]

 

Bài 66: Giải pt nghiệm nguyên $$x^y+y=y^x+x.$$

 

Bài 67:Cho a,b,c là những số nguyên dương.Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm nguyên dương (x,y,z,t):$ax^{2}+by^2+cz^2=t^4$

 

Bài 68:Chỉ ra ít nhất 2 nghiệm nguyên dương của phương trình sau $3x^{2}+x=2y^{2}+y$

 

Bài 69: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:

$a_1=a_2=...= a_5=1$
và $ a_{n+6} a_{n+1} = a_{n+5} a_{n+2}+ a_{n+4} a_{n+3} \ \ \forall n\ge 0$
Chứng minh rằng: dãy số$(a_n)$ chỉ gồm các phần tử là số nguyên.

 

Bài 70: Cho A là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại tập hợp hữu hạn các số nguyên dương B sao cho A là tập con của B và $\prod x=\sum x^2 (x\in B)$.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh