Trước hết ta sẽ giải bài toán sau:
Bài toán 1:Tìm hàm số $g(x):N\rightarrow R$ thoã mãn : $g(2x+y)-g(2x)-g(y)=g(2y+x)-g(2y)-g(x)$
Lời giải: Trước hết ta cần chú ý một tính chất sau (rất hay).
Tính chất: Nếu ta gọi
S là một không gian vector
k-thành phần, khi đó nếu một tập hợp vector
A được xác định khi
k giá trị tương ứng với
k thành phần của
S thì các vector trong
A có thể biểu diễn tổng quát bằng
k thành phần trong
S.
(Tc này có thể tưởng tượng như trong không gian 2 hoặc 3 chiều, nếu một dãy số (dãy vector) $u_n$ xác định khi biết
k giá trị $u_1,...,u_k$ thì tồn tại công thức truy hồi tính $u_{n+k+1}$ thông qua $u_n;u_{n+1};...;u_{n+k}$)
Trở lại Bài toán 1:
Thế $y=1$ ta có: $g(2x+1)=g(2x)+g(1)+g(x+2)-g(2)-g(x)$
$y=2$ ta có: $g(2x+2)=g(2x)+g(2)+g(x+4)-g(4)-g(x)$
Như vậy,vì hàm số $g$ có đối số $x$ chạy trên $N$ nên $g(x)$ được xác định khi biết các giá trị $g(1);g(2);g(3);g(4);g(6)$, áp dụng tính chất ở trên bây giờ ta sẽ tìm 5 nghiệm của $g(x)$ phân biệt (không bị suy ra từ nghiệm khác) làm hệ vector cơ sở để biểu diễn tập vector nghiệm của $g(x)$.
Ta có thể thấy các nghiệm sau:
$g_1(x)=1;g_2(x)=x;g_3(x)=x^2$
$g_4(x)=1$ khi $x\equiv 0(mod2)$ và $g_4(x)=0$ khi $x\equiv 1(mod2)$
$g_5(x)=1$ khi $x$ chia hết cho 3, $g_5(x)=0$ khi $x$ không chia hết cho 3.
Vậy ta có thể biểu diễn tất cả các nghiệm của $g(x)$ là :
$g(x)=a.x^2+b.x+c+d.g_4(x)+e.g_5(x)$ (1)
Trở lại bài toán ban đầu
đề bài:
Đổi hàm $f$ bởi hàm $f-1$ thì bài toán trở thành tìm hàm $f$ liên tục trên $R$ thoã mãn
$$f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$$
Trước hêt ta sẽ tìm hàm trên $Q$
Dễ thấy $f(1)=1$,thế $(x,y)\rightarrow (xy,z)$ và $(x,y)\rightarrow (xz,y)$ ta suy ra được phương trình hàm $f$ với 3 biến: $f(xy+z)-f(xy)-f(z)=f(xz+y)-f(xz)-f(y)$ (2)
Thế ở (2) $(x,y,z)\rightarrow (2,\frac{m}{p},\frac{n}{p})$ với $m,n,p$ nguyên dương, ta được
$$f(\frac{2m+n}{p})-f(\frac{2m}{p})-f(\frac{n}{p})=f(\frac{2n+m}{p})-f(\frac{2n}{p})-f(\frac{m}{p})$$
Suy ra $f(\frac{x}{p})$ (x nguyên dương) có tập nghiêm như ở (1) hay $f(\frac{x}{p})=a_p.x^2+b_p.x+c_p+d_p.g_4(x)+e_p.g_5(x)$
Thế $x=kp$ ta được $a_p=\frac{a}{p^2} \Rightarrow b_p=\frac{b}{p}$
Tiếp tục thế $x=2kp;x=3kp;x=6kp$ ta có $c_p=c;d_p=e_p=0$
Hay $f(x)=ax^2+bx+c$ với mọi số hữu tỉ dương $x$.
Mà $f$ liên tục trên $R$ và $Q^+$ trù mật trong $R^+$ nên $f(x)=ax^2+bx+c$ vói mọi $x>0$.
Tiếp tục xử lí bài toán cho TH $x<0$ ta thế $(x,y,z)\rightarrow (2,-\frac{m}{p};-\frac{n}{p})$ ta được
$f(-\frac{2m+n}{p})-f(-\frac{2m}{p})-f(-\frac{n}{p})=f(-\frac{2n+m}{p})-f(-\frac{2n}{p})-f(-\frac{m}{p})$
Suy ra $f(-\frac{x}{p})$ lấy (1) làm tập nghiệm, tiếp tục xử lí như TH $x>0$ ta cũng được kết quả tương tự là $f(x)=a'x^2+b'x+c'$ với mọi $x<0$.
Như vậy $f(x)=ax^2+bx+c$ vói mọi $x>0$ và $f(x)=a'x^2+b'x+c'$ với mọi $x<0$.
Cho $x$ tiến đến $0^+$ và $0^-$ trong 2 TH ta được $c=c'$.
$f(1)=1 \Rightarrow c=1-a-b$
Thế $(x,y)=(-1,-1) \Rightarrow a'=a$
$(x,y)=(-2,3) \Rightarrow b'=b$
Hay $f(x)=ax^2+bx-a-b+1$ với mọi số thực $x$.
Thử lại dễ thấy hàm số này thoã mãn bài toán.
Vậy $f(x)=ax^2+bx+2-a-b$ là hàm số cần tìm.
Bài làm chưa chính xác, sai lầm đã được Joker999 chỉ ra ở dưới.
Điểm bài: 7
S = 13 + 7*3 = 34
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-06-2013 - 09:51
Chấm bài