Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 23 - Đa thức, phương trình hàm


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 22h00, Thứ Sáu, ngày 15/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 23

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Tìm các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục thoả:
$$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(xy+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Đề của
Joker9999

@Perfectstrong: Đã bổ sung giả thiết theo yêu cầu của tác giả. Thời gian làm bài tính từ 10h16 PM 16/03/2013.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-03-2013 - 22:16

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Spoiler

Trước hết ta sẽ giải bài toán sau:
Bài toán 1:Tìm hàm số $g(x):N\rightarrow R$ thoã mãn : $g(2x+y)-g(2x)-g(y)=g(2y+x)-g(2y)-g(x)$
Lời giải: Trước hết ta cần chú ý một tính chất sau (rất hay).
Tính chất: Nếu ta gọi S là một không gian vector k-thành phần, khi đó nếu một tập hợp vector A được xác định khi k giá trị tương ứng với k thành phần của S thì các vector trong A có thể biểu diễn tổng quát bằng k thành phần trong S.
Spoiler

(Tc này có thể tưởng tượng như trong không gian 2 hoặc 3 chiều, nếu một dãy số (dãy vector) $u_n$ xác định khi biết k giá trị $u_1,...,u_k$ thì tồn tại công thức truy hồi tính $u_{n+k+1}$ thông qua $u_n;u_{n+1};...;u_{n+k}$)
Trở lại Bài toán 1:
Thế $y=1$ ta có: $g(2x+1)=g(2x)+g(1)+g(x+2)-g(2)-g(x)$
$y=2$ ta có: $g(2x+2)=g(2x)+g(2)+g(x+4)-g(4)-g(x)$
Như vậy,vì hàm số $g$ có đối số $x$ chạy trên $N$ nên $g(x)$ được xác định khi biết các giá trị $g(1);g(2);g(3);g(4);g(6)$, áp dụng tính chất ở trên bây giờ ta sẽ tìm 5 nghiệm của $g(x)$ phân biệt (không bị suy ra từ nghiệm khác) làm hệ vector cơ sở để biểu diễn tập vector nghiệm của $g(x)$.
Ta có thể thấy các nghiệm sau:
$g_1(x)=1;g_2(x)=x;g_3(x)=x^2$
$g_4(x)=1$ khi $x\equiv 0(mod2)$ và $g_4(x)=0$ khi $x\equiv 1(mod2)$
$g_5(x)=1$ khi $x$ chia hết cho 3, $g_5(x)=0$ khi $x$ không chia hết cho 3.
Vậy ta có thể biểu diễn tất cả các nghiệm của $g(x)$ là :
$g(x)=a.x^2+b.x+c+d.g_4(x)+e.g_5(x)$ (1)

Trở lại bài toán ban đầu đề bài:
Đổi hàm $f$ bởi hàm $f-1$ thì bài toán trở thành tìm hàm $f$ liên tục trên $R$ thoã mãn
$$f(x+y)+f(xy)+1=f(x)+f(y)+f(xy+1)$$
Trước hêt ta sẽ tìm hàm trên $Q$
Dễ thấy $f(1)=1$,thế $(x,y)\rightarrow (xy,z)$ và $(x,y)\rightarrow (xz,y)$ ta suy ra được phương trình hàm $f$ với 3 biến: $f(xy+z)-f(xy)-f(z)=f(xz+y)-f(xz)-f(y)$ (2)
Thế ở (2) $(x,y,z)\rightarrow (2,\frac{m}{p},\frac{n}{p})$ với $m,n,p$ nguyên dương, ta được
$$f(\frac{2m+n}{p})-f(\frac{2m}{p})-f(\frac{n}{p})=f(\frac{2n+m}{p})-f(\frac{2n}{p})-f(\frac{m}{p})$$
Suy ra $f(\frac{x}{p})$ (x nguyên dương) có tập nghiêm như ở (1) hay $f(\frac{x}{p})=a_p.x^2+b_p.x+c_p+d_p.g_4(x)+e_p.g_5(x)$
Thế $x=kp$ ta được $a_p=\frac{a}{p^2} \Rightarrow b_p=\frac{b}{p}$
Tiếp tục thế $x=2kp;x=3kp;x=6kp$ ta có $c_p=c;d_p=e_p=0$
Hay $f(x)=ax^2+bx+c$ với mọi số hữu tỉ dương $x$.
Mà $f$ liên tục trên $R$ và $Q^+$ trù mật trong $R^+$ nên $f(x)=ax^2+bx+c$ vói mọi $x>0$.

Tiếp tục xử lí bài toán cho TH $x<0$ ta thế $(x,y,z)\rightarrow (2,-\frac{m}{p};-\frac{n}{p})$ ta được
$f(-\frac{2m+n}{p})-f(-\frac{2m}{p})-f(-\frac{n}{p})=f(-\frac{2n+m}{p})-f(-\frac{2n}{p})-f(-\frac{m}{p})$
Suy ra $f(-\frac{x}{p})$ lấy (1) làm tập nghiệm, tiếp tục xử lí như TH $x>0$ ta cũng được kết quả tương tự là $f(x)=a'x^2+b'x+c'$ với mọi $x<0$.

Như vậy $f(x)=ax^2+bx+c$ vói mọi $x>0$ và $f(x)=a'x^2+b'x+c'$ với mọi $x<0$.
Cho $x$ tiến đến $0^+$ và $0^-$ trong 2 TH ta được $c=c'$.
$f(1)=1 \Rightarrow c=1-a-b$
Thế $(x,y)=(-1,-1) \Rightarrow a'=a$
$(x,y)=(-2,3) \Rightarrow b'=b$
Hay $f(x)=ax^2+bx-a-b+1$ với mọi số thực $x$.
Thử lại dễ thấy hàm số này thoã mãn bài toán.

Vậy $f(x)=ax^2+bx+2-a-b$ là hàm số cần tìm.

 

Bài làm chưa chính xác, sai lầm đã được Joker999 chỉ ra ở dưới.

Điểm bài: 7

S = 13 + 7*3 = 34


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-06-2013 - 09:51
Chấm bài

LKN-LLT


#4
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của gogo123


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Đáp án của Joker9999:
Đặt $g(x)=f(x+1)-f(x)$  thì ta có: $f(x+y)-f(x)-f(y)=g(xy)$ do vậy: $f(x+y+z)-f(x+y)-f(z)=g(xz+yz)\Rightarrow f(x+y+z)-f(x)-f(y)-f(z)=g(xz+yz)+g(xy)$.


Do tính đối xứng của $x,y,z$ nên: $f(x+y+z)-f(x)-f(y)-f(z)=g(xz+yz)+g(xy)=g(xz+xy)+g(yz)=g(xy+yz)+g(xz)$.


Bây giờ chúng ta đặt $x=\frac{\sqrt{abc}}{c},y=\frac{\sqrt{abc}}{b},z=\frac{\sqrt{abc}}{a}$ với $abc>0$ thì suy ra $a=xy,b=yz,c=xz$ và : $g(a+b)+g(c)=g(a+c)+g(b)=g(b+c)+g(a)$. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng: $g(x+y)+g(0)=g(x)+g(y)$ với $xy$ khác 0. Với $z>0$ hoặc $z<0$ ta luôn có $xyz>0$ nên $g(x+y)+g(z)=g(x+z)+f(y)$. Bây giờ cho $z\rightarrow 0$ ta nhận được:$g(x+y)+g(0)=g(x)+g(y)$. Điều này cũng xảy ra khi $xy=0$. Do đó: 
$g(x)-g(0)$ là hàm cộng tính, và $g(x)=ax+b$ là hàm tuyến tính.Suy ra$f(x+y)-f(x)-f(y)=axy+b$. Bây giờ đặt $h(x)=f(x)-\frac{a}{2}x^2+b$ thì chúng ta dễ dàng có: $h(x+y)-h(x)-h(y)=f(x+y)-\frac{a}{2}(x+y)^2+b-f(x)-\frac{a}{2}(x^2+y^2)-2b=(f(x+y)-f(x)-f(y))+\frac{a}{2}(x^2+y^2-(x+y)^2)-b=axy+b-axy-b=0$.


Như vậy $h$ cộng tính nên $h(x)=cx$. Vậy bậc lớn nhất của $f$ chỉ là $2$ nên giả sử $f(x)=ax^2+bx+c$. Ta có: 
 
$f(x+y)+f(xy)=a(x+y)^2+b(x+y)+c+ax^2y^2+bxy+c=a(x^2+y^2)+ax^2y^2+(2a+b)xy+b(x+y)+2c$


trong khi $f(x)+f(y)+f(xy+1)=a(x^2+y^2)+ax^2y^2+(2a+b)xy+b(x+y)+a+b+3c$
Từ $2$ phương trình này chúng ta có: $a+b+c=0$ nên $f(x)=ax^2+bx-a-b$. Thử lại thấy hàm này thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 22-03-2013 - 17:32

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#6
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Bài làm của gogo123 ra $f(x)=ax^2+bx-a-b+2$ hình như không đúng, chẳng hạn hàm $f(x)=2x$ thay vào sai ngay
Hình như bạn nhầm ở chỗ $f(1)=1$ thì phải, $f(1)=0$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 23-03-2013 - 17:25

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#7
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
Đúng là mình sai ở đó.Lúc đổi hàm mình đổi nhầm nên lúc cuối ra kết quả phải làm mất con 1 đi.

LKN-LLT


#8
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Đã chấm xong trận này, điểm ra đề:

D = 4x25+3x10+30=160


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh