cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn $\tan ^2 A + \tan^2 B+ \tan^2 C=9$
chứng minh rằng tam giác ABC đều
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn $\tan ^2 A + \tan^2 B+ \tan^2 C=9$ chứng minh rằng tam giác ABC đều
Bắt đầu bởi rikimaru, 16-03-2013 - 21:41
#1
Đã gửi 16-03-2013 - 21:41
#2
Đã gửi 16-03-2013 - 21:51
Đặt $\left\{\begin{matrix}cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn $\tan ^2 A + \tan^2 B+ \tan^2 C=9$
chứng minh rằng tam giác ABC đều
a= \tan A\\b= \tan B
\\c= \tan C
\end{matrix}\right.$
Ta cần tìm chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 9$
Sử dụng đẳng thức sau $a+b+c=abc$
Áp dụng AM-GM ta có : $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
$abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3$
$\Rightarrow a+b+c=abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3$
$\Rightarrow \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \geq a+b+c \geq 3\sqrt{3}$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9$
Vậy $ \tan A+ \tan B+ \tan C \geq 9$
Dấu = xảy ra khi tam giác đã cho đều
#3
Đã gửi 16-03-2013 - 21:51
sử dụng BĐT jensen tan$\sum tan^{2}A \geq tan^{2}\sum A = 9$ dấu bằng xảy ra khi A=B=c
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh