Tính $A^{n}$ với $n\geq 1$
P/s: Dạng toán không lạ nhưng mỗi bài luôn có cái hay riêng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-03-2013 - 21:34
Phù, ngốn mất gần buổi chiều...
$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 2& 2 & 2\\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0& 0 \end{bmatrix}=A-B$
Đặt $D=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1& 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$D^{n}=3^{n-1}D$
$A^{n}=2^{n}D^{n}=2^{n}.3^{n-1}D$
Về ma trận B:
$B^{1}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$B^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$B^{3}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
$B^{4}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$B^{5}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ -1& 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
$B^{6}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^{7}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B^{1}$
$B^{8}=B^{2}$,...
Cứ tương tự như vậy. B có "chu kỳ" 6. Sau mỗi lần chuyển, trong mỗi hàng, số 1 dịch sang bên phải 1 cột và đổi dấu. Dịch vòng quanh.
Với mọi ma trận M(3x3) bất kì: $B^{k}.M=(-1)^{k}M$
$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{n}=(A+B)^{n}=\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.A^{n-k}B^{k}+B^{n}=D\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.2^{n-k}.3^{n-k-1}(-1)^{k}+B^{n}=\frac{D}{3}\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.6^{n-k}(-1)^{k}+B^{n}=\frac{D}{3}\left [ (6-1)^{n}-(-1)^{n} \right ]+B^{n}=\frac{D}{3}\left [ 5^{n}-(-1)^{n} \right ]+B^{n}$
Để xử lý $B^{n}$, chia n cho 6 dư bao nhiêu thì ứng với B mũ số dư đó, đã nêu ra ở trên.
Áp dụng công thức vừa chứng minh, ta được:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 8 & 8 & 9\\ 9 & 8 & 8\\ 8 & 9 & 8 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 41 & 42 & 42\\ 42 & 41 & 42\\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$
Bác Vo van duc còn cách nào khác hay không? Chỉ em với
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 21-07-2013 - 18:04
$D^{k}=3^{k-1}D$
$B^{k}=\left\{\begin{matrix} I & \text{nếu} & k=3l\\ B & \text{nếu} & k=3l+1\\ B^{2} & \text{nếu} & k=3l+2 \end{matrix}\right.$
$D.B^{k}=B^{k}.D=D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 22-07-2013 - 09:48
Đúng rồi. Lúc chiều em quên mất về tính giao hoán của các ma trận $B^{k}$. Sau đi ra ngoài rồi mới nhớ. Về phép tách thì em nghĩ của e cũng ok, nhưng hơi rườm rà. Chỉ cần chia về 3 trường hợp là các lớp modulo của 3 thôi, nhưng kèm thêm dấu nhân với $(-1)^{n}$. Kết quả thì đúng vì e đã kiểm tra với mấy số mũ 2, 3, 4 rồi. Thanks bác nhiều nhé.
cho mình hỏi:cho ma trận A=$\begin{bmatrix} 1 &-8 &3 \\-3 &1 &0 \\8 &0 & 1 \end{bmatrix}$
tính $A^{50}$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh