Chủ đề này có 4 trả lời

[vo van duc]

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Tính $A^{n}$ với $n\geq 1$

P/s: Dạng toán không lạ nhưng mỗi bài luôn có cái hay riêng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 17-03-2013 - 21:34

[zarya]

Phù, ngốn mất gần buổi chiều...

$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 2& 2 & 2\\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0& 0 \end{bmatrix}=A-B$

 

Đặt $D=\begin{bmatrix} 1 & 1&1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1& 1 & 1 \end{bmatrix}$. 

 

$D^{n}=3^{n-1}D$

 

$A^{n}=2^{n}D^{n}=2^{n}.3^{n-1}D$

 

Về ma trận B:

 

$B^{1}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$B^{2}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

 

$B^{3}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

 

$B^{4}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$B^{5}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ -1& 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

 

$B^{6}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

 

$B^{7}=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0& 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B^{1}$

 

$B^{8}=B^{2}$,...

Cứ tương tự như vậy. B có "chu kỳ" 6. Sau mỗi lần chuyển, trong mỗi hàng, số 1 dịch sang bên phải 1 cột và đổi dấu. Dịch vòng quanh.

Với mọi ma trận M(3x3) bất kì: $B^{k}.M=(-1)^{k}M$

 

$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{n}=(A+B)^{n}=\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.A^{n-k}B^{k}+B^{n}=D\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.2^{n-k}.3^{n-k-1}(-1)^{k}+B^{n}=\frac{D}{3}\sum_{k=0}^{n-1}_{n}^{k}\textrm{C}.6^{n-k}(-1)^{k}+B^{n}=\frac{D}{3}\left [ (6-1)^{n}-(-1)^{n} \right ]+B^{n}=\frac{D}{3}\left [ 5^{n}-(-1)^{n} \right ]+B^{n}$

 

Để xử lý $B^{n}$, chia n cho 6 dư bao nhiêu thì ứng với B mũ số dư đó, đã nêu ra ở trên.

Áp dụng công thức vừa chứng minh, ta được:

 

$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} 8 & 8 & 9\\ 9 & 8 & 8\\ 8 & 9 & 8 \end{bmatrix}$

 

$\begin{bmatrix} 2 & 1 &2 \\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}^{3}=\begin{bmatrix} 41 & 42 & 42\\ 42 & 41 & 42\\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$

 

Bác Vo van duc còn cách nào khác hay không? Chỉ em với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 21-07-2013 - 18:04

[vo van duc]

Bài này tôi sưu tầm trên AoPS. Tôi không giải được bài này. Nhưng khi đó tôi đã được tiếp cận một lời giải rất đẹp.
Như đã nói rằng dạng toán không lạ nhưng mỗi bài có cái hay riêng. Bài này có vẻ đẹp riêng của nó nên tôi dã đăng lên đây để chia sẽ cho mọi người. Bạn đã có nhận xét tuyệt vời về phép tách. Nhưng bạn tách nhầm rồi kìa.
Bài này còn nhiều vẻ đẹp khác nữa.
..............................

Phân tích $A=2.D-B$ với $D=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ và $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Ta có

$D^{k}=3^{k-1}D$

$B^{k}=\left\{\begin{matrix} I & \text{nếu} & k=3l\\ B & \text{nếu} & k=3l+1\\ B^{2} & \text{nếu} & k=3l+2 \end{matrix}\right.$

$D.B^{k}=B^{k}.D=D$

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta sẽ có kết quả.

..............................
Với kỹ thuật phân tích như vậy thì bài này có thể tổng quát lên với $A=\begin{pmatrix} a & b & a\\ a & a & b\\ b & a & a \end{pmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 22-07-2013 - 09:48

[zarya]

Đúng rồi. Lúc chiều em quên mất về tính giao hoán của các ma trận $B^{k}$. Sau đi ra ngoài rồi mới nhớ. Về phép tách thì em nghĩ của e cũng ok, nhưng hơi rườm rà. Chỉ cần chia về 3 trường hợp là các lớp modulo của 3 thôi, nhưng kèm thêm dấu nhân với $(-1)^{n}$. Kết quả thì đúng vì e đã kiểm tra với mấy số mũ 2, 3, 4 rồi. Thanks bác nhiều nhé.

[tranxuanthai1995]

cho mình hỏi:cho ma trận A=$\begin{bmatrix} 1 &-8 &3 \\-3 &1 &0 \\8 &0 & 1 \end{bmatrix}$  

tính $A^{50}$