Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatthanh1596]

Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left | z_1-z_2 \right |=\left | z_1 \right |=\left | z_2 \right |$
Tính $A=(\frac{z_1}{z_2})^4+(\frac{z_2}{z_1})^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 18-03-2013 - 18:30
Chú ý tiêu đề và bài viết

[PT42]

Cách 1 

Đặt $z_{1} = a+ bi,  z_{2} = c + di$ $\Rightarrow$ $z_{1} - z_{2}$ = (a-c) + (b-d) i

$\Rightarrow$ $a^{2} + b^{2}$ = $c^{2} + d^{2}$ = $(a -c)^{2} + (b -d)^{2}$ = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ - 2ac - 2bd

$\Rightarrow$ $a^{2} + b^{2}$ = $c^{2} + d^{2}$ = 2 (ac + bd)

 

$\Rightarrow$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ = $\frac{a+ bi}{c+di} + \frac{c+di}{a+bi}$

                      = $\frac{(a+ bi) (c-di)}{(c+di)(c-di)} + \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}$

                      = $\frac{ac+bd + (bc-ad)i + ac +bd + (ad-bc)i}{a^{2}+b^{2}}$ 

                      = $\frac{2(ac +bd)}{a^{2}+b^{2}}$ = 1

$\Rightarrow$ $\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right )^{2} + \left ( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{2}$ = $\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{2}$ - 2 = 1 -2 = -1

$\Rightarrow$ $\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right )^{4} + \left ( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{4}$ = $\left ( \left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right )^{2} + \left ( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{2} \right )^{2}$ - 2 = $(-1)^{2} - 1$ = -1

 

Cách 2

Vì $\left | z_{1} \right | = \left | z_{2} \right |$ nên có thể đặt $z_{1}$ = A ( cos $\alpha$ + i cos $\beta$), $z_{2}$ = A (cos $\beta$ + i sin$\beta$ )

$\Rightarrow$ $z_{1} - z_{2}$ = A ( (cos $\alpha$ - cos $\beta$ ) + i (sin $\beta$ - sin$\beta$ ) )

Vì $\left | z_{1} - z_{2} \right |$ = A nên $\exists \gamma$ :  $z_{1} - z_{2}$ = A (cos $\gamma$ + i sin $\gamma$ )

cos$\alpha$ - cos$\beta$ = cos$\gamma$ và sin$\beta$ - sin$\beta$ = sin$\gamma$

$\Rightarrow$ $(cos\alpha - cos\beta )^{2} + (sin\alpha - sin\beta )^{2}$ = 1

$\Rightarrow$ 2$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = 2cos(\alpha -\beta )$ = 1

 

$\Rightarrow$ $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}$ = $\frac{A(cos\alpha + i sin\alpha )}{A(cos\beta +i sin\beta )}$ + $\frac{A(cos\beta + i sin\beta )}{A(cos\alpha +i sin\alpha )}$

                       = cos ($\alpha -\beta$) + i sin ($\alpha -\beta$ ) + cos ($\beta -\alpha$ ) + i sin ($\beta -\alpha$ ) = 2 cos ($\alpha -\beta$) = 1 

Làm tiếp như trên $\Rightarrow$ $\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right )^{2} + \left ( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{2}$ = -1 $\Rightarrow$ $\left ( \frac{z_{1}}{z_{2}} \right )^{4} + \left ( \frac{z_{2}}{z_{1}} \right )^{4}$ = -1