Chủ đề này có 2 trả lời

[Strygwyr]

Cho $\Delta$ABC. Tìm điểm M trong $\Delta$ABC sao cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-03-2013 - 14:50

[L Lawliet]

Cho $\Delta$ABC. Tìm điểm M trong $\Delta$ABC sao cho MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất

Đây là bài toán về điểm Toricenli, bài toán này có nhiều ứng dụng và chứng minh rất hay và đẹp. Mình sẽ trình bày cách chứng minh THCS

 

Lời giải. Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:

Bổ đề. "Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng $MB+MC<AB+AC$."

Chứng minh. Kéo dài $BM$ về phía $M$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $N$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$$AN+AB>BN=BM+MN\\

MN+NC>MC$$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho $MN$ ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ta xét hai trường hợp:

a) Tam giác $ABC$ có ba góc nhỏ hơn $120^\circ$.

Ta dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài tam giác $ABC$.

Gọi $T$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ với $AD$. Dễ dàng chứng minh rằng $T$ nhìn ba cạnh của tam giác $ABC$ dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$ khác điểm $T$ thì ta có $$MA+MB+MC>TA+TB+TC$$

Thật vậy ta có $MB+MC\geq MD$ và do đó $$MA+MB+MC\geq MA+MD\geq AD \ \ \left ( 1 \right )$$

Mặt khác $TA+TB+TC=TA+TD$, do $T$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$. Và cuối cùng là $$TA+TB+TC=TA+TD=AD \ \ \left ( 2 \right )$$

Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra $$MA+MB+MC\geq TA+TB+TC$$

Đẳng thức xảy ra khi $M\equiv T$ (điểm $T$ được gọi là điểm Toricenli của tam giác $ABC$).

b) Tam giác $ABC$ có một góc, chẳng hạn $\widehat{B}\geq 120^\circ$.

Dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài của tam giác $ABC$.

Do $\widehat{B}\geq 120^\circ$ nên với mọi điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$, điểm $B$ nằm trong tam giác $MDA$.

Ta có $MB+MC\geq MD$. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác $MDA$ ta có $MA+MD\geq BA+BD$.

Từ đó ta có $$OA+OB+OC\geq OA+OD\geq BA+BD=BA+BC$$

Như vậy khi $M\equiv B$ thì tổng khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh còn lại của tam giác $ABC$ là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác $ABC$ có một đỉnh không nhỏ hơn $120^\circ$ thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.

----

Spoiler

Lâu ngày không gõ giờ gõ chậm quá @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 11-08-2015 - 18:47

[nanan]

 

Đây là bài toán về điểm Toricenli, bài toán này có nhiều ứng dụng và chứng minh rất hay và đẹp. Mình sẽ trình bày cách chứng minh THCS

 

Lời giải. Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:

Bổ đề. "Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng $MB+MC<AB+AC$."

Chứng minh. Kéo dài $BM$ về phía $M$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $N$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$$AN+AB>BN=BM+MN\\

MN+NC>MC$$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho $MN$ ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Ta xét hai trường hợp:

a) Tam giác $ABC$ có ba góc nhỏ hơn $120^\circ$.

Ta dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài tam giác $ABC$.

Gọi $T$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ với $AD$. Dễ dàng chứng minh rằng $T$ nhìn ba cạnh của tam giác $ABC$ dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$ khác điểm $T$ thì ta có $$MA+MB+MC>TA+TB+TC$$

Thật vậy ta có $MB+MC\geq MD$ và do đó $$MA+MB+MC\geq MA+MD\geq AD \ \ \left ( 1 \right )$$

Mặt khác $TA+TB+TC=TA+TD$, do $T$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$. Và cuối cùng là $$TA+TB+TC=TA+TD=AD \ \ \left ( 2 \right )$$

Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra $$MA+MB+MC\geq TA+TB+TC$$

Đẳng thức xảy ra khi $M\equiv T$ (điểm $T$ được gọi là điểm Toricenli của tam giác $ABC$).

b) Tam giác $ABC$ có một góc, chẳng hạn $\widehat{B}\geq 120^\circ$.

Dựng tam giác đều $BCD$ ở phía ngoài của tam giác $ABC$.

Do $\widehat{B}\geq 120^\circ$ nên với mọi điểm $M$ tùy ý ở trong tam giác $ABC$, điểm $B$ nằm trong tam giác $MDA$.

Ta có $MB+MC\geq MD$. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác $MDA$ ta có $MA+MD\geq BA+BD$.

Từ đó ta có $$OA+OB+OC\geq OA+OD\geq BA+BD=BA+BC$$

Như vậy khi $M\equiv B$ thì tổng khoảng cách từ $M$ đến các đỉnh còn lại của tam giác $ABC$ là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác $ABC$ có một đỉnh không nhỏ hơn $120^\circ$ thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.

----

Spoiler

Lâu ngày không gõ giờ gõ chậm quá @@

 

có cách làm khác đẹp hơn ko ạ