Chủ đề này có 5 trả lời

[Sagittarius912]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-03-2013 - 18:24

[Mai Xuan Son]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Chỉ cần giải quyết được bài 1 thì bài 2 chỉ là hệ quả ( xem phương pháp phản chứng )

Giải

Quy về $pqr$ Với $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c & & \\ q=ab+bc+ac & & \\ r=abc & & \end{matrix}\right.$

Khi đó 

$\mathbb{P}=|p^3-3pq+2r|$

Trước khi giải quyết, ta thấy rằng bài này chỉ cần quy về tìm cực trị (cả $\max$ và $\min$) của $\mathbb{Q}=p^3-3pq+2r$ Sau đó ta so sánh trị tuyệt đối các điểm cực trị với nhau rồi kết luận max.

Ta thấy rằng $f(r)=p^3-3pq+2r$ Là một hàm đồng biến theo $r$ và hiển nhiên $\deg f(r)=\deg r$

Các giá trị $a,b,c$ chạy trên tập số thực, do đó ta chỉ cần xét bất đẳng thức trong trường hợp 2 biến bằng nhau, Giả sử $a=b$ Khi đó ta cần đi tìm $\max$ và $\min$ của 

$A=2a^3+c^3-a^2c$ 

Với điều kiện ràng buộc $2a^2+c^2=1$

Ta tìm điểm dừng nên chỉ cần đạo hàm bậc một, thiết lập hàm $Lagrange$

$L=2a^3+c^3-a^2c+\lambda .(2a^2+c^2-1)$

Điểm dừng tại hệ

$\left\{\begin{matrix} L_{a}'=6a^2-2ac+4a\lambda=0 & & \\ L_{c}'=3c^2-a^2+2c\lambda=0 & & \\ \end{matrix}\right.$

Nhưng đầu tiên ta cần xét

Nếu $a=0$ thì $c=\pm 1$ Khi đó $\left | A \right |=1$

Nếu $c=0$ thì $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ Khi đó $\left | A \right |=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Quay lại hệ trên, Với $a,c\neq 0$ rút $\lambda$ ra ta được điểm dừng tại 

$\frac{6a^2-2ac}{4a}=\frac{3c^2-a^2}{2c}$ 

Hệ này tương đương với 

$4c^2-3ac-a^2=0$

Đây là phương trình đẳng cấp, giải được $\left\{\begin{matrix} a=-4.c & \\ a=c & \end{matrix}\right.$

Thay vào lại điều kiện ràng buộc $2a^2+c^2=1$ Ta tính được 

$\bigstar$$\left\{\begin{matrix} a=-4c & \\ 2a^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=\pm 4.\sqrt{33^{-1}} & \\ c=\mp \sqrt{33^{-1}} & \end{matrix}\right.$

Khi đó $\left | A \right |=\frac{13}{\sqrt{33}.3}$

$\bigstar \left\{\begin{matrix} a=c & \\ 2a^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=\pm \sqrt{3^{-1}} & \\ c=\pm \sqrt{3^{-1}} & \end{matrix}\right.$

Khi đó $\left | A \right |=\frac{2}{3.\sqrt{3}}$

So sánh các giá trị trên với nhau ta kết luận được 

$\max \mathbb{P}=1$ tại bộ $(a,b,c)=(0,0,\pm 1)$ và các hoán vị $\blacksquare$

 

p/s: Bài này t thấy trong STBĐT rồi nhưng ko có lời giải, mong tìm được lời giải khác     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 29-03-2013 - 13:11

[babystudymaths]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

 

 

Chỉ cần giải quyết được bài 1 thì bài 2 chỉ là hệ quả ( xem phương pháp phản chứng )

Giải

Quy về $pqr$ Với $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c & & \\ q=ab+bc+ac & & \\ r=abc & & \end{matrix}\right.$

Khi đó 

$\mathbb{P}=|p^3-3pq+2r|$

Trước khi giải quyết, ta thấy rằng bài này chỉ cần quy về tìm cực trị (cả $\max$ và $\min$) của $\mathbb{Q}=p^3-3pq+2r$ Sau đó ta so sánh trị tuyệt đối các điểm cực trị với nhau rồi kết luận max.

Ta thấy rằng $f(r)=p^3-3pq+2r$ Là một hàm đồng biến theo $r$ và hiển nhiên $\deg f(r)=\deg r$

Các giá trị $a,b,c$ chạy trên tập số thực, do đó ta chỉ cần xét bất đẳng thức trong trường hợp 2 biến bằng nhau, Giả sử $a=b$ Khi đó ta cần đi tìm $\max$ và $\min$ của 

$A=2a^3+c^3-a^2c$ 

Với điều kiện ràng buộc $2a^2+c^2=1$

Ta tìm điểm dừng nên chỉ cần đạo hàm bậc một, thiết lập hàm $Lagrange$

$L=2a^3+c^3-a^2c+\lambda .(2a^2+c^2-1)$

Điểm dừng tại hệ

$\left\{\begin{matrix} L_{a}'=6a^2-2ac+4a\lambda=0 & & \\ L_{c}'=3c^2-a^2+2c\lambda=0 & & \\ \end{matrix}\right.$

Nhưng đầu tiên ta cần xét

Nếu $a=0$ thì $c=\pm 1$ Khi đó $\left | A \right |=1$

Nếu $c=0$ thì $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ Khi đó $\left | A \right |=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Quay lại hệ trên, Với $a,c\neq 0$ rút $\lambda$ ra ta được điểm dừng tại 

$\frac{6a^2-2ac}{4a}=\frac{3c^2-a^2}{2c}$ 

Hệ này tương đương với 

$4c^2-3ac-a^2=0$

Đây là phương trình đẳng cấp, giải được $\left\{\begin{matrix} a=-4.c & \\ a=c & \end{matrix}\right.$

Thay vào lại điều kiện ràng buộc $2a^2+c^2=1$ Ta tính được 

$\bigstar$$\left\{\begin{matrix} a=-4c & \\ 2a^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=\pm 4.\sqrt{33^{-1}} & \\ c=\mp \sqrt{33^{-1}} & \end{matrix}\right.$

Khi đó $\left | A \right |=\frac{13}{\sqrt{33}.3}$

$\bigstar \left\{\begin{matrix} a=c & \\ 2a^2+c^2=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=\pm \sqrt{3^{-1}} & \\ c=\pm \sqrt{3^{-1}} & \end{matrix}\right.$

Khi đó $\left | A \right |=\frac{2}{3.\sqrt{3}}$

So sánh các giá trị trên với nhau ta kết luận được 

$\max \mathbb{P}=1$ tại bộ $(a,b,c)=(0,0,\pm 1)$ và các hoán vị $\blacksquare$

 

p/s: Bài này t thấy trong STBĐT rồi nhưng ko có lời giải, mong tìm được lời giải khác     

Có thể cách của e còn sai sót,mong m.n góp ý

Ta xét trường hợp abc âm,gọi x,y,z là GTTĐ của a,b,c,k mất tính tổng quát, ta cần chứng minh biểu thức đã cho không nhỏ hơn -1 và không lớn hơn 1

Nếu có 2 số dương 1 số âm thì  $1+x^{3}+y^{3}+xyz\geq z^{3}$ quá đúng ,$a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\leq 1 đúng ,$($1+x^{3}\geq y^{3}+z^{3}+xyz$)

Nếu cả 3 số đều âm thì $1+xyz\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}$ đúng ,$1+x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq xyz$ đúng

Từ trên ta có $-1\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 1$

Xét trường hợp abc dương

Nếu có 2 số âm 1 số dương $1+x^{3}\geq y^{3}+z^{3}+xyz$ đúng ,$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 1+abc$ đúng

Nếu cả 3 số dương $a^{3}+b^{3}+c^{3}+1\geq abc$ đúng,$a^{3}+b^{3}+c^{3}+1\leq abc+1$ đúng

Từ trên ta có $-1\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}-abc\leq 1$

Kết hợp 2 trường hợp lại ta có GTLN của biểu thức đã cho là 1

Lưu ý ta có bổ đề :với a,b,c thực và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ thì ta luôn có $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\leq 1$(CM ta phân tích đa thức nhân tử rồi bình phương để áp dụng cauchy 3 số )

 

p/s:cách hơi lủng củng nhưng mình nghĩ khá đúng,có gì sai sót mong m.n góp ý

[Sagittarius912]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

 

 

Chỉ cần giải quyết được bài 1 thì bài 2 chỉ là hệ quả ( xem phương pháp phản chứng )

 

 

p/s: Bài này t thấy trong STBĐT rồi nhưng ko có lời giải, mong tìm được lời giải khác     

Lời giải sơ cấp

 

Ta sẽ chứng minh

 

$(a^2+b^2+c^2)^3 \ge (a^3+b^3+c^3-abc)^2$

 

$\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2(a^2+b^2)+6a^2b^2c^2 +\sum a^6\ge \sum a^6+a^2b^2c^2-2abc(a^3+b^3+c^3)+2\sum a^3b^3$

 

$\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2 + 2abc(a^3+b^3+c^3)\ge 2\sum a^3b^3$

Để ý rằng

 

$\sum a^2b^2(a^2+b^2) \ge 2\sum a^3b^3$

 

$\Leftrightarrow \sum a^2b^2(a-b)^2 \ge 0$ (đúng!)

Do đó ta chỉ cần chứng minh

 

$2\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2 + 2abc(a^3+b^3+c^3)\ge 0$ (*)

Xét các trường hợp

 

• $a,b,c \ge 0$ $\Rightarrow (*)$ hiển nhiên đúng
• 
  

 

• $ a,b,c <0$ thì (*) cũng hiển nhiên đúng do $abc(a^3+b^3+c^3)>0$ 

Bây giờ ta sẽ xét 2 trường hợp sau

• Nếu có 2 số âm, 1 số dương
• 
  

Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge 0$  $b,c \le 0$  $\Rightarrow abc \ge 0$ ; $bc \ge 0$

BĐT cần chứng minh tương đương

 

$2\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2+2a^4bc \ge 2a(-b)(-c)[(-b)^3+(-c)^3]$

 

$\Leftrightarrow 2\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2+2a^4bc \ge 2a(-b)^4(-c)+2ab(-c)^4$

 

Sử dụng AM-GM

 

$a^2b^4+c^2b^4 +a^2c^4+b^2c^4\ge 2a(-b)^4(-c)+2ab(-c)^4$ 

 

$\Rightarrow$ dpcm

• Nếu có 2 số dương,1 số âm . không mất tính tổng quát giả sử $a,b \ge 0$ $c \le 0$ $\Rightarrow$ $abc \le 0$
• 
  

 

$(*)\Leftrightarrow 2\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2+2abc^4 \ge 2ab(-c)[a^3+b^3]$

 

$\Leftrightarrow 2\sum a^2b^2(a^2+b^2)+5^2b^2c^2+2abc^4 \ge 2a^4b(-c)+2ab^4(-c)$

Sử dụng AM-GM:

 

$a^4b^2+a^4c^2+a^2b^4+c^2b^4 \ge 2a^4b(-c)+2ab^4(-c)$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Vậy $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |\le 1$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi  $b=c=0$ $a=\pm 1$ và các hoán vị 

_____________

P/s: có sự hỗ trợ của tops2liz

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 30-03-2013 - 11:58

[viet 1846]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Làm bài 1: Theo BĐT Cauchy-Schwarz: (Có ông Lagrange hậu thuẫn)

 

\[9{P^2} = {\left[ {\sum {a\left( {3{a^2} - bc} \right)} } \right]^2} \le \left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {{{\left( {3{a^2} - bc} \right)}^2}} } \right) =  \cdots  \le 9\]

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

 

Để ý $(a^3+b^3 )^{2}\leq (a^2+b^2)(a^4+b^4)$

Ta có : $$P^2= [a^3+b^3+c(c^2-ab)]^{2}\leq (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+(c^2-ab)^2)$$

$$= a^4+b^4+c^4+a^2b^2-2abc^2\leq a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$

$$\leq a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2= (a^2+b^2+c^2)^{2}$$

 

Đến đây xong cả hai bài !