Xin lỗi mọi người em đánh sai đề , đúng phải là :
Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ chứng minh :
$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
cô si chọn điểm rơi thôi
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\leq b\leq c$
$\Rightarrow ab\leq c^2\Rightarrow (ab)^3 \leq (abc)^2=1\Rightarrow ab \leq 1$
Áp dụng bổ đề sau : Với $a,b$ dương và $ab \leq 1$, ta luôn có
$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}$
Thay $ab=\frac{1}{c}$ vào ta có bất đẳng thức trở thành
$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{c}+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow f(c)=\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ với $c \geq 1$
Lấy đạo hàm $f(c)$ ta được $f{}'(c)=\frac{1}{\sqrt{c}\sqrt{c+1}(c+1)}-\frac{2c}{2(c^2+1)\sqrt{c^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{c}\sqrt{c+1}(c+1)}-\frac{c}{(c^2+1)\sqrt{c^2+1}} $
Ta có $f{}'(c) \leq 0\Leftrightarrow \sqrt{c^2+1}(c^2+1) \leq \sqrt{c^2+c}(c^2+c)$
$\Leftrightarrow \sqrt{c^2+1} \leq \sqrt{c^2+c}\Leftrightarrow 1 \leq c$
Nhưng bất đẳng thức luôn đúng do giả thiết
Vì $f{}'(c) \leq 0$ nên $f(c)$ nghịch biến trên $\left [1,+\infty \right )$
$\Rightarrow f(c) \leq f(1)= \frac{3}{\sqrt{2}}$
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
P/S : human king : Làm thì làm chư đừng nói bâng cua như thế, bạn có thể trình bày cách Co-si điểm rơi được không ?
Bearbean : Anh chỉ có mỗi cách này thôi, không có cách nào khác đâu