Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyen thi dien]

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {(1 + x)(1 + y)}  = x + y\\ {x^2} + {y^2} = m\end{array} \right.$

 Tìm $m$ để hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

[Sagittarius912]

Cho hệ phương trình: 

                                  $\sqrt{(1+x)(1+y)}=x+y$

                                  $x^{2}+y^{2}=m$

 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất.

Nếu $(x_0;y_0)$ là 1 nghiệm của hệ thì $(y_0;x_0)$ cũng là 1 nghiệm

Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=y$

Thay vào ta có

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{(1+x)(1+x)}=x+x\\ x^2+y^2=m \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow x=1$

 

$\Rightarrow m=2$

 

Ta sẽ giải hệ với trường hợp $m=2$

ĐK $x+y \ge 0$

 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(1+x)(1+y)}=x+y \\ x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.$

 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+2xy=1+x+y+xy \\ (x+y)^2-2xy =2 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1+xy=x+y\\ (x+y)^2-2xy =2 \end{matrix}\right.$

Đặt

$x+y=u$  $( u \ge 0)$

$xy=v$

khi đó hệ trở thành 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}1+v=u\\ u^2-2v =2 \end{matrix}\right.$

 

giải u,v $\Rightarrow$  Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất $(1;1)$

 

 

Vậy với $m=2$ thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 26-03-2013 - 13:46

[Crystal]

Nếu $(x_0;y_0)$ là 1 nghiệm của hệ thì $(y_0;x_0)$ cũng là 1 nghiệm

Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì $x=y$

Thay vào ta có

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{(1+x)(1+x)}=x+x\\ x^2+y^2=m \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow x=1$

 

$\Rightarrow m=2$

 

 

Vậy với $m=2$ thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất

 

Cách giải trên của bạn Sagittarius912 là sử dụng Phương pháp điều kiện cần và đủ. Nhưng lời giải trên chưa hoàn toàn chính xác. Bạn chỉ mới tìm ra được điều kiện cần chứ chưa đủ.

 

Để bài toán chặt chẽ và chính xác hơn. Sau khi tìm được $m=2$ bạn cần phải thay vào hệ đã cho rồi tìm nghiệm.

 

Bước cuối cùng mới có thể kết luận được.