Chủ đề này có 9 trả lời

[hieuht2012]

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$ CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)\leqslant 2$

 

P/s: Xin lỗi, tớ vội quá! Đề đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuht2012: 26-03-2013 - 20:47

[VNSTaipro]

Cho $x,y>0$ CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)\leqslant 2$

$x=2,y=2$ BDT sai 

[Zaraki]

AM-GM ta có $ \frac 12 xy \cdot (2xy) \cdot (x^2+y^2) \le \frac{xy}{2} \cdot \frac{(x+y)^4}{4} \le \frac{(x+y)^2}{8} \cdot \frac{(x+y)^4}{4}=2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.

[hieuht2012]

AM-GM ta có $ \frac 12 xy \cdot (2xy) \cdot (x^2+y^2) \le \frac{xy}{2} \cdot \frac{(x+y)^4}{4} \le \frac{(x+y)^2}{8} \cdot \frac{(x+y)^4}{4}=2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.

$ \frac 12 xy \cdot (2xy) \cdot (x^2+y^2) \le \frac{xy}{2} \cdot \frac{(x+y)^4}{4}$ Đoạn này hình như anh bị nhầm rồi!

[Christian Goldbach]

Bạn xem ở đây http://diendantoanho...inh-x2y2x2y2-2/

[Yagami Raito]

Mình bổ sung mọi người cùng lam nha

 Cho x,y>0; x+y=2. Chứng minh $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$. Mọi người thử tông quát xem nhé! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 26-03-2013 - 21:38

[Yagami Raito]

Thôi minh chém luôn 

BDT $\Leftrightarrow$ $(xy)(xy)(xy)(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\leq 2$

$\Leftrightarrow (xy)(xy)(xy)(x^{2}-xy+y^{2})\leq 1$

Áp dungj BDT Cauchy cho 4 so thuc khong am ta có

$(xy)(xy)(xy)(x^{2}-xy+y^{2})\leq (\frac{xy+xy+xy+x^{2}+y^{2}-xy}{4})^{4}=(\frac{(x+y)^{2}}{4})^{4}=1$ (ĐPCM)

[Yagami Raito]

Tổng quát : Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $x+y=2$ và hăng số $k\epsilon \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng $x^{k}y^{k}(x^{k}+y^{k})\leq 2$. Mọi người thử chứng minh xem (Có thể dùng phép quy nạp)

[buiminhhieu]

$x=2,y=2$ BDT sai 

x+y=2 mà

[KietLW9]

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$ CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)\leqslant 2$

 

P/s: Xin lỗi, tớ vội quá! Đề đã sửa

Lời giải.

 

$(x+y)^6-32x^2y^2(x^2+y^2)=(x-y)^2(x^4+y^4-2x^2y^2+8x^3y+8xy^3)\geqslant 0$