Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$
Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$
Áp dụng bđt B.C.S ta có:
$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
Áp dụng bđt B.C.S ta có:
$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Bạn nói rõ hơn về BĐT B.C.S được ko?
Áp dụng bđt B.C.S ta có:
$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$
MrMath : Có thể giải thích bđt đó được không ?
Eatchuoi19999 : Bài làm
Do vai tro của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geq b \geq c >0$
Do đó $a^3,b^3,c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 27-03-2013 - 16:44
Áp dụng bđt B.C.S ta có:
$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}$$\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}$$=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Bạn nói rõ hơn về đoạn tô màu đỏ được không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 28-03-2013 - 11:42
MrMath : Có thể giải thích bđt đó được không ?
Eatchuoi19999 : Bài làm
Do vai tro của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geq b \geq c >0$
Do đó $a^3,b^3,c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều
Áp dụng bđt Chebyshev ta có$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2})$Lại có $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$Dễ thấy $3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$$\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3}{2}$Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
Bạn chứng minh lại hộ mình BĐT Chebyshev đối với bài này với!
Bạn chứng minh lại hộ mình BĐT Chebyshev đối với bài này với!
BĐT Chebyshev dạng tổng quát hay dùng như sau
Cho 2 dãy số dương thỏa mãn $x_1 \geq x_2 \geq ... \geq x_n$ và $y_1 \geq y_2 \geq ... \geq y_n$
Ta luôn có $x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \geq \frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)$
Áp dụng vào bài trên cho 2 dãy tăng $a^3 \geq b^3 \geq c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2} \geq \frac{1}{a^2+c^2} \geq \frac{1}{b^2+a^2}$
Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$
Lời giải. Ta có:
$\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{2a-b}{2}=\frac{b(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\geqslant 0$
Tương tự rồi cộng lại, ta có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh