Chủ đề này có 7 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$

[Christian Goldbach]

Áp dụng bđt B.C.S ta có:

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

[eatchuoi19999]

Áp dụng bđt B.C.S ta có:

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Bạn nói rõ hơn về BĐT B.C.S được ko?

[25 minutes]

Áp dụng bđt B.C.S ta có:

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

 

 

Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$

MrMath : Có thể giải thích bđt đó được không ?

Eatchuoi19999 : Bài làm

  Do vai tro của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geq b \geq c >0$

Do đó $a^3,b^3,c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều

Áp dụng bđt Chebyshev ta có 

                    $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2})$

Lại có $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$

   $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Dễ thấy $3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

     $\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

    $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 27-03-2013 - 16:44

[eatchuoi19999]

Áp dụng bđt B.C.S ta có:

$\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}$$\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^4}{4}}{\frac{(a+b+c)^3}{2}}$$=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Bạn nói rõ hơn về đoạn tô màu đỏ được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 28-03-2013 - 11:42

[eatchuoi19999]

MrMath : Có thể giải thích bđt đó được không ?

Eatchuoi19999 : Bài làm

  Do vai tro của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geq b \geq c >0$

Do đó $a^3,b^3,c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2},\frac{1}{c^2+a^2},\frac{1}{a^2+b^2}$ là 2 dãy đơn điệu cùng chiều

Áp dụng bđt Chebyshev ta có 

                    $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2})$

Lại có $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$

   $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Dễ thấy $3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

     $\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2+b^2+c^2$

    $\Rightarrow \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} \geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bạn chứng minh lại hộ mình BĐT Chebyshev đối với bài này với!

[25 minutes]

Bạn chứng minh lại hộ mình BĐT Chebyshev đối với bài này với!

BĐT Chebyshev dạng tổng quát hay dùng như sau

Cho 2 dãy số dương thỏa mãn $x_1 \geq x_2 \geq ... \geq x_n$ và $y_1 \geq y_2 \geq ... \geq y_n$

Ta luôn có $x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \geq \frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)(y_1+y_2+...+y_n)$

Áp dụng vào bài trên cho 2 dãy tăng $a^3 \geq b^3 \geq c^3$ và $\frac{1}{b^2+c^2} \geq \frac{1}{a^2+c^2} \geq \frac{1}{b^2+a^2}$ 

[KietLW9]

Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$

 

Lời giải. Ta có: 

$\frac{a^3}{a^2+b^2}-\frac{2a-b}{2}=\frac{b(a-b)^2}{2(a^2+b^2)}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại, ta có: 

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$