Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] - Trận 25 - Dãy số, giới hạn


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h10, Thứ Sáu, ngày 29/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

2) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Tìm tất cả các dãy số $(u_n)_{n\geq 1}^{\infty }$ tăng thực sự thõa mãn:

$$u_{m.n}=u_m.u_n$$

với mọi $m,n$ nguyên tố cùng nhau.

Đề của gogo123


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc. Toán thủ gogo123 công bố đáp án nào


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
Cho $a=b=1$ ta có $u_1^2=u_1 \Rightarrow u_1 \in{0;1}$.Mặt khác $u_n$ tăng thực sự trên $R$ nên $u_1=1$.
Với mỗi $a \in Z^+$ đặt :
$M= \left \{\frac{u_{x+a}}{u_x}:x\in N^*;(x,a)=1\right \}$
$N= \left \{\frac{u_{x}}{u_{x+a}}:x\in N^*;(x,a)=1\right \}$
Do $u_n$ tăng thực sự nên tồn tại $A=infM$ và $B=supN$ với $B\leq1 \leq A$.
Ta có: Với mỗi số nguyên dương $m$, gọi $x_0$ là số nguyên tố $>ma$. Khi đó $(x_0,2)=(x_0,ka)=1,\forall k\in N^*,k\leq m$
Ta có:
$u_2.u_{x_0}=u_{2x_0}\geq u_{x_0+ma} \geq A.u_{x_0+(m-1)a}\geq...\geq A^m.u_{x_0}$
$\Rightarrow u_2\geq A^m \Rightarrow A=1$
$u_{x_0}\leq B.u_{x_0+a} \leq B^2.u_{x_0+2a} \leq ... \leq B^m.u_{2x_0}=B^m.u_{x_0}.u_2$
$\Rightarrow u_2.B^m=1 \Rightarrow u_2=1$
Suy ra $A=B=1$.
Tiếp tục ta sẽ chứng minh dãy $u_n$ có tính nhân tính.Thật vậy,xét $(x,a)=1$ ta có:
$u_{x+a}.u_a=u_{ax+a^2} \geq u_{ax+1}= \frac{u_{ax+1}.u_{a^k}}{u_{a^k}}= \frac{u_{a^{k+1}x+a^k}}{a^k} \geq \frac{u_{a^{k+1}x}}{u_{a^k}}= \frac{u_x.u_{a^{k+1}}}{u_k}$
Suy ra: $\frac{u_{x+a}}{u_x} \geq \frac{u_{a^{k+1}}}{u_{a^k}.u_a}$
Tương tự ta có:
$u_x.u_a \leq \frac{u_{ax}.u_{a^k}}{u_{a^k}} \leq \frac{u_{x+a}.u_{a^{k+1}}}{u_{a^k}}$
$\Rightarrow \frac{u_{x}}{u_{x+a}} \leq \frac{u_{a^{k+1}}}{u_{a^k}.u_a}$
Suy ra: $A \leq \frac{u_{a^{k+1}}}{u_{a^k}.u_a} \geq B$
Hay $\frac{u_{a^{k+1}}}{u_{a^k}.u_a}=1 \Rightarrow u_{a^{k+1}}=u_{a}.u_{a^k}$.
Kết hợp với giả thiết suy ra $u_{xy}=u_x.u_y, \forall x,y\in N$
Chứng minh tính duy nhất của dãy.
Giả sử tồn tại $u_2=c$ và có hai dãy thõa mãn bài toán là $u_n$ và $v_n$ với $u_2=v_2=1$ và tồn tại $t>2$ sao cho $u_t \neq v_t$.
Với mỗi $s\in N^*$ thì tồn tại duy nhất $k$ sao cho $2^k\leq t^s<2^{k+1}$.
Suy ra $u_{2^k} \leq u_{t^s}<u_{2^{k+1}}$ hay $k.lnc \leq sln(u_t) <(k+1)lnc$. Tương tự đối với $v_n$, ta có:
$\frac{k}{k+1} \leq \frac{u_t}{v_t} <\frac{k+1}{k}$.
Cho $k$ tiến tới vô cùng suy ra $u_t=v_t$, vô lí.
Do đó $u_n$ là duy nhất.
Dễ thấy dãy $u_n=n^{\alpha}$ với $\alpha>0$ là dãy số thõa mãn.
Vậy ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 21-04-2013 - 09:46

LKN-LLT





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh