Bài toán: Cho trước hằng số nguyên dương $m$.Hãy tính tích $P=\prod_{1 \le i<j \le n}\frac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$.
___________
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-03-2013 - 18:59
Bài toán: Cho trước hằng số nguyên dương $m$.Hãy tính tích $P=\prod_{1 \le i<j \le n}\frac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-03-2013 - 18:59
Ta có:
$P=\prod_{1\le i<j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$
Suy ra:
$\begin{align*}P^2&=\prod_{1\le i<j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}\;\cdot\;\prod_{1\le j<i\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}\\&=\cfrac{\displaystyle\prod_{1\le i\le n}\prod_{1\le j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}}{\displaystyle\prod_{1\le i=j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}}\end{align*}$
Ta có: (Tử thức)
$\prod_{1\le i\le n}\prod_{1\le j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}=\prod_{1\le i\le n}\dfrac{1}{(m-i)^n}\cdot\dfrac{(m-i-1)(m-i-2)...(m-i-n)}{(m-1)(m-2)...(m-n)}$
$\quad=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{2n}}\cdot(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}$
Còn lại (Mẫu thức)
$\prod_{1\le i=j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}=\dfrac{m-2}{(m-1)^2}\cdot\dfrac{m-4}{(m-2)^2}\cdots\dfrac{m-2n}{(m-n)^2}$
Suy ra:
$P^2=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{2n-2}}\cdot\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}$
Do đó
$P=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{n-1}}\cdot\sqrt{\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}}$
...
$P=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{n-1}}\cdot\sqrt{\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}}$
Spoiler
Anh Thanh có thể biểu diễn giùm em tích số này cho $n$ chẵn được không ạ ? Bài toán gốc ở đây.
Mặc dù nó không khó hiểu, nhưng mà rất khó trình bày. Biểu diễn theo cột ta được:
$\begin{align*}
(m-2)^{\underline{n}}&=&(m-2)&(m-3)&(m-4)&...&(m-1-n)&&&\\
(m-3)^{\underline{n}}&=&&(m-3)&(m-4)&...&(m-1-n)&(m-2-n)&&\\
(m-4)^{\underline{n}}&=&&&(m-4)&...&(m-1-n)&(m-2-n)&(m-3-n)&\\
...&&&&&&&&&\\
(m-1-n)^{\underline{n}}&=&&&&&(m-1-n)&(m-2-n)&(m-3-n)&...(m-n-n)
\end{align*}$
Như vậy cái phần tử số trong dấu căn sẽ là:
$[(m-2)(m-2n)]^1[(m-3)(m-2n+1)]^2[(m-4)(m-2n+2)]^3\ldots[(m-n)(m-n-2)]^{n-1}[(m-n-1)]^n\quad(1)$
Để cho tiện, trong (1) ta gọi nhóm tích có số mũ lẻ là "nhóm chẵn" còn nhóm tích có số mũ chẵn là "nhóm lẻ"
Sau khi rút gọn cho mẫu số thì số mũ của toàn bộ các nhóm chẵn sẽ giảm đi 1. Như thế biểu thức trong căn sẽ toàn nhóm có số mũ chẵn! (khai căn ok)
Nếu $n$ chẵn thì khai căn ra sẽ được thế này
$[(m-3)(m-2n+1)].[(m-4)(m-2n+2)].[(m-5)(m-2n+3)]^2.[(m-6)(m-2n+4)]^2...[(m-n-1)]^{n/2}\quad(2)$
Kéo dài đến đâu và kết thúc thế nào thì không diễn tả ra nổi!
Với $n=2$ thì giá trị $(2)$ sẽ chỉ có thừa số cuối cùng $[(m-3)]^{2/2}$
khi đó $P_2=\dfrac{1}{(m-1)^{\underline{2}}}\cdot(m-3)=\dfrac{(m-3)}{(m-1)(m-2)}$
Với $n=4$ thì giá trị của $(2)$ sẽ là: $[(m-3)(m-7)].[(m-4)(m-6)].[(m-5)]^2$
khi đó $P_4=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{4}}\right]^3}\cdot[(m-3)(m-7)].[(m-4)(m-6)].[(m-5)]^2=\dfrac{(m-5)^2(m-6)(m-7)}{(m-1)^3(m-2)^3(m-3)^2(m-4)^2}$
...
Thôi! Chóng mặt lắm rồi
Có vẻ biểu diễn được dưới dạng rõ ràng hơn rồi...
$P_2=\dfrac{(m-3)}{(m-1)(m-2)}$
$P_3=\dfrac{(m-4)(m-5)}{(m-1)^2(m-2)^2(m-3)}$
$P_4=\dfrac{(m-5)^2(m-6)(m-7)}{(m-1)^3(m-2)^3(m-3)^2(m-4)^2}$
$P_5=\dfrac{(m-6)^2(m-7)^2(m-8)(m-9)}{(m-1)^4(m-2)^4(m-3)^3(m-4)^3(m-5)^2}$
...........
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh