Đến nội dung

Hình ảnh

Tính $\prod_{1 \le i<j \le n}\frac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài toán: Cho trước hằng số nguyên dương $m$.Hãy tính tích $P=\prod_{1 \le i<j \le n}\frac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$.
 

Spoiler

 
___________
Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-03-2013 - 18:59

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Spoiler

Ta có:

 

$P=\prod_{1\le i<j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}$

 

Suy ra:

 

$\begin{align*}P^2&=\prod_{1\le i<j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}\;\cdot\;\prod_{1\le j<i\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}\\&=\cfrac{\displaystyle\prod_{1\le i\le n}\prod_{1\le j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}}{\displaystyle\prod_{1\le i=j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}}\end{align*}$

 

Spoiler

 

Ta có: (Tử thức)

$\prod_{1\le i\le n}\prod_{1\le j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}=\prod_{1\le i\le n}\dfrac{1}{(m-i)^n}\cdot\dfrac{(m-i-1)(m-i-2)...(m-i-n)}{(m-1)(m-2)...(m-n)}$

$\quad=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{2n}}\cdot(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}$

 

Còn lại (Mẫu thức)

$\prod_{1\le i=j\le n}\dfrac{m-i-j}{(m-i)(m-j)}=\dfrac{m-2}{(m-1)^2}\cdot\dfrac{m-4}{(m-2)^2}\cdots\dfrac{m-2n}{(m-n)^2}$

 

Suy ra:

 

$P^2=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{2n-2}}\cdot\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}$

 

Do đó

$P=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{n-1}}\cdot\sqrt{\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}}$

 

Spoiler



#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Anh Thanh có thể biểu diễn giùm em tích số này cho $n$ chẵn được không ạ ? :) Bài toán gốc ở đây.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

...
$P=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{n}}\right]^{n-1}}\cdot\sqrt{\dfrac{(m-2)^{\underline{n}}(m-3)^{\underline{n}}...(m-n-1)^{\underline{n}}}{(m-2)(m-4)...(m-2n)}}$
 

Spoiler

 
 

Anh Thanh có thể biểu diễn giùm em tích số này cho $n$ chẵn được không ạ ? :) Bài toán gốc ở đây.

Mặc dù nó không khó hiểu, nhưng mà rất khó trình bày. Biểu diễn theo cột ta được:
$\begin{align*}
(m-2)^{\underline{n}}&=&(m-2)&(m-3)&(m-4)&...&(m-1-n)&&&\\
(m-3)^{\underline{n}}&=&&(m-3)&(m-4)&...&(m-1-n)&(m-2-n)&&\\
(m-4)^{\underline{n}}&=&&&(m-4)&...&(m-1-n)&(m-2-n)&(m-3-n)&\\
...&&&&&&&&&\\
(m-1-n)^{\underline{n}}&=&&&&&(m-1-n)&(m-2-n)&(m-3-n)&...(m-n-n)
\end{align*}$

 

Như vậy cái phần tử số trong dấu căn sẽ là:

 

$[(m-2)(m-2n)]^1[(m-3)(m-2n+1)]^2[(m-4)(m-2n+2)]^3\ldots[(m-n)(m-n-2)]^{n-1}[(m-n-1)]^n\quad(1)$

 

Để cho tiện, trong (1) ta gọi nhóm tích có số mũ lẻ là "nhóm chẵn" còn nhóm tích có số mũ chẵn là "nhóm lẻ" :wacko:

 

Sau khi rút gọn cho mẫu số thì số mũ của toàn bộ các nhóm chẵn sẽ giảm đi 1. Như thế biểu thức trong căn sẽ toàn nhóm có số mũ chẵn! (khai căn ok)

 

Nếu $n$ chẵn thì khai căn ra sẽ được thế này

 

$[(m-3)(m-2n+1)].[(m-4)(m-2n+2)].[(m-5)(m-2n+3)]^2.[(m-6)(m-2n+4)]^2...[(m-n-1)]^{n/2}\quad(2)$

 

Kéo dài đến đâu và kết thúc thế nào thì không diễn tả ra nổi! :wacko:



#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Với $n=2$ thì giá trị $(2)$ sẽ chỉ có thừa số cuối cùng $[(m-3)]^{2/2}$

khi đó $P_2=\dfrac{1}{(m-1)^{\underline{2}}}\cdot(m-3)=\dfrac{(m-3)}{(m-1)(m-2)}$

 

Với $n=4$ thì giá trị của $(2)$ sẽ là: $[(m-3)(m-7)].[(m-4)(m-6)].[(m-5)]^2$

khi đó $P_4=\dfrac{1}{\left[(m-1)^{\underline{4}}\right]^3}\cdot[(m-3)(m-7)].[(m-4)(m-6)].[(m-5)]^2=\dfrac{(m-5)^2(m-6)(m-7)}{(m-1)^3(m-2)^3(m-3)^2(m-4)^2}$

 

...

 

Thôi! Chóng mặt lắm rồi :wacko:



#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Có vẻ biểu diễn được dưới dạng rõ ràng hơn rồi...

 

$P_2=\dfrac{(m-3)}{(m-1)(m-2)}$

 

$P_3=\dfrac{(m-4)(m-5)}{(m-1)^2(m-2)^2(m-3)}$

 

$P_4=\dfrac{(m-5)^2(m-6)(m-7)}{(m-1)^3(m-2)^3(m-3)^2(m-4)^2}$

 

$P_5=\dfrac{(m-6)^2(m-7)^2(m-8)(m-9)}{(m-1)^4(m-2)^4(m-3)^3(m-4)^3(m-5)^2}$

 

...........






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh