Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyễn Hoàng Hảo]

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Chứng minh bất đẳng thức với $a+b+c=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 01-04-2013 - 00:43

[25 minutes]

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

C/m bđt trên với $a+b+c=3$

BĐT đã cho tương với $\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{(abc)^2} \geq (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$

                   $\Leftrightarrow \frac{(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)}{(abc)^2} \geq (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$

                   $\Leftrightarrow \frac{(ab+bc+ac)^2-6abc}{(abc)^2}+2(ab+bc+ac) \geq 9$

Đặt $ab+bc+ac=q,abc=r$

BĐT đã cho trở thành $\frac{q^2-6r}{r^2}+2q \geq 9$

Ta có $(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)\Rightarrow q^2 \geq 9r$

$\Rightarrow \frac{q^2-6r}{r^2}+2q \geq \frac{9r-6r}{r^2}+6\sqrt{r}=\frac{3}{r}+3\sqrt{r}+3\sqrt{r}=3(\frac{1}{r}+\sqrt{r}+\sqrt{r})$

Áp dụng AM-GM ta có ngay đpcm $\frac{1}{r}+\sqrt{r}+\sqrt{r} \geq 3\Rightarrow \frac{q^2-6r}{r^2}+2q \geq 9$

Vậy bđt đã cho được chứng minh xong

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[Sagittarius912]

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Chứng minh bất đẳng thức với $a+b+c=3$

Ta có 

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh

 

$abc(a^2+b^2+c^2)\le3$

 

$\Leftrightarrow 3abc(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\le27$

Mà ta có

 

$3abc(ab+bc+ca)\le(ab+bc+ca)^2$

và theo AM-GM

 

$(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\le \frac{ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2}{27}=\frac{(a+b+c)^6}{27}=27$

 

$\Rightarrow $dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[KietLW9]

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-04-2021 - 20:49