Lại một bài nữa về đường tròn nội tiếp
$\boxed{\text{Bài toán 22}}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(I)$, gọi $O_A, O_B,O_C$ lần lượt là giao điểm của các đường phân giác góc $\angle A, \angle B, \angle C$ với $(I)$. Gọi $(O_A)$ là đường tròn tâm $O_A$ và tiếp xúc với $AB,AC$. Định nghĩa tương tự với $(O_B),(O_C)$. Gọi $t_A$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(O_B)$ và $(O_C)$, định nghĩa tương tự với $t_B, t_C$. Chứng minh rằng $t_A, t_B,t_C$ đồng quy.
[49192]
Bài này là :$\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$...
Chứng Minh:Ta cần có 2 bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề 1:Cho $\Delta ABC$ ,$D$ và $E$ là các trung điểm cung $BC$,$CA$ không chứa
$A,B$.Gọi $X,Y$ là các giao điểm của $DE$ với $BC,CA$.Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác$ABC$.Khi đó ta có
$IX//AC$ và $IY//BC$. (có thể dễ dàng chứng minh bổ đề này bằng định lí Talet)
Bổ đề 2:Cho tam giác$ABC$.$D,E,F$ thứ tự là trung điểm các cung $BC,AC,AB$ (ko chứa đỉnh đối diện).
Khi đó các đường chéo chính của lục giác tạo bởi phần giao nhau của hai tam giác $ABC$ và $DEF$ đồng quy tại $I$ là tâm nội
tiếp tam giác $ABC$. (Suy ra trực tiếp từ bổ đề 1).
Trở lại bài toán:
Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ của $(I)$.Ta có $\widehat{AFO_{A}}=\widehat{FDO_{A}}=\widehat{O_{A}FE}$
(vì $O_{A}$ là trung điểm cung $EF$).Từ đó suy ra $(O_{A})$ là đường tròn nội tiếp tam giác $AEF$.
Tương tự với các đường tròn $O_{B},O_{C}$.
Gọi $X,Z$ thứ tự là giao điểm của $(O_{B}O_{A},EF),(O_{B}O_{C},DE)$. Ta sẽ chứng minh $XZ$ chính là tiếp tuyến chung
của $(O_{A}),(O_{C})$
Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $DEF$.Áp dụng bổ đề (1) ta có $KX//FD,KZ//FD$ hay $XZ//FD$
Ta phải chứng minh $XZ$ và $FE$ đối xứng nhau qua $O_{A}O_{B}$
$\Leftrightarrow \widehat{ZXY}=\widehat{FXY}$ ($Y$ là giao của $O_{A}O_{B}$ và $DF$)
$\Leftrightarrow \widehat{FXY}=\widehat{FYX}$ (vì $XZ//DF$)
Điều này hiển nhiên đúng vì $O_{A},O_{B}$ là trung điểm các cung $EF$ và $DF$ và $\widehat{FXY}=\frac{sd\widehat{O_{A}E}+sd\widehat{FO_{B}}}{2}$
Do đó ta có $XZ$ và $EF$ đối xứng qua $O_{A}O_{B}$.Mà $EF$ là tiếp tuyến của $(O_{A})$ nên $XZ$ cũng là tiếp tuyến của $(O_{A})$.
Tương tự $XZ$ cũng là tiếp tuyến của $(O_{C})$ nên ta có $XZ$ là tiếp tuyến chung của $(O_{A})$ và $(O_{C})$
Tương tự với các tiếp tuyến chung của $(O_{A}),(O_{B})$ và $(O_{C}),(O_{B})$.
Cuối cùng áp dụng trực tiếp bổ đề 2 ta có ngay $3$ tiếp tuyến $t_{A},t_{B},t_{C}$ đồng quy tại tâm nội tiếp $\Delta DEF$
Done
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-05-2013 - 22:46