$\boxed{\text{ Bài toán 41 }}$ http://www.artofprob...p?f=46&t=537830
Let and is circumcircle of triangle. is a point in . . Let like this picture. Prove that 3 diagonals of the hexagon $XYZTUV$ are concurrent at .
___
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác. $M$ là 1 điểm nằm trong tam giác. $MA \cap (O) = A';MB \cap (O) = B';MC \cap (O) = C'$. Cho $X,Y,Z,T,U,V$ như hình vẽ. Chứng minh rằng $3$ đường chéo của lục giác $XYZTUV$ đồng quy tại $M$.
Ảnh chụp màn hình_2013-06-08_170721.png
Bài này không khó nhưng có mở rộng khá hay ....
Mở rộng 3: Bỏ qua giả thiết $AA',BB',CC'$ đồng quy, ta vẫn có $XT,UY,VZ$ đồng quy (với điều kiện $AC'BA'CB'$ là lục giác lồi)
Chứng minh:
$A'A\cap BB'=F,BB'\cap CC'=D, CC' \cap AA'=E$.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $(A,C,B,B',C',A')$ suy ra $Y,U,F$ thẳng hàng.
Tương tự $(X,E,T),(V,D,Z)$ là các bộ điểm thẳng hàng.
Áp dụng định lý Ceva sin cho $\vartriangle AFB'$ với 3 đường đồng quy là $FY,AY,B'Y$:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {FA} ;\overrightarrow {FY} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {FB'} ;\overrightarrow {FY} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {B'F} ;\overrightarrow {B'Y} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {B'A} ;\overrightarrow {B'Y} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AY} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {AY} } \right)}} = - 1 \\
\Rightarrow \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {FE} ;\overrightarrow {FU} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {FD} ;\overrightarrow {FU} } \right)}} = \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {FA} ;\overrightarrow {FY} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {FB'} ;\overrightarrow {FY} } \right)}} = - \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {B'A} ;\overrightarrow {B'Y} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {B'F} ;\overrightarrow {B'Y} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {AY} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AY} } \right)}} \quad (1)\\
\end{array}
\]
Tương tự, ta có các tỉ số
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {DF} ;\overrightarrow {DZ} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {DZ} } \right)}} = \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {DV} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {DC'} ;\overrightarrow {DV} } \right)}} = - \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {C'B} ;\overrightarrow {C'V} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {C'D} ;\overrightarrow {C'V} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BV} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {BC'} ;\overrightarrow {BV} } \right)}},\left( 2 \right) \\
\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {ED} ;\overrightarrow {EX} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {EX} } \right)}} = \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {EC} ;\overrightarrow {ET} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {EA'} ;\overrightarrow {ET} } \right)}} = - \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {A'C} ;\overrightarrow {A'T} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {A'E} ;\overrightarrow {A'T} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {CE} ;\overrightarrow {CT} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {CA'} ;\overrightarrow {CT} } \right)}},\left( 3 \right) \\
\end{array}
\]
Lại chú ý rằng do $AC'BA'CB'$ là lục giác lồi nội tiếp nên xét theo module ${2\pi}$ thì:
\[
\begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {B'A} ;\overrightarrow {B'Y} } \right) = \left( {\overrightarrow {BV} ;\overrightarrow {BC'} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {B'A} ;\overrightarrow {B'Y} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {BC'} ;\overrightarrow {BV} } \right) \\
\left( {\overrightarrow {B'F} ;\overrightarrow {B'Y} } \right) = \left( {\overrightarrow {CT} ;\overrightarrow {CE} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {B'F} ;\overrightarrow {B'Y} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {CE} ;\overrightarrow {CT} } \right) \\
\left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {AY} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'V} ;\overrightarrow {C'D} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {AF} ;\overrightarrow {AY} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {C'D} ;\overrightarrow {C'V} } \right) \\
\left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AY} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'T} ;\overrightarrow {A'C} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AY} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {A'C} ;\overrightarrow {A'T} } \right) \\
\left( {\overrightarrow {C'B} ;\overrightarrow {C'V} } \right) = \left( {\overrightarrow {CT} ;\overrightarrow {CA'} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {C'B} ;\overrightarrow {C'V} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {CA'} ;\overrightarrow {CT} } \right) \\
\left( {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BV} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'T} ;\overrightarrow {A'E} } \right) \Rightarrow \sin \left( {\overrightarrow {BD} ;\overrightarrow {BV} } \right) = - \sin \left( {\overrightarrow {A'E} ;\overrightarrow {A'T} } \right) \\
\end{array}
\]
Kết hợp với (1),(2),(3) thì ta có ngay\[
\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {FE} ;\overrightarrow {FU} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {FD} ;\overrightarrow {FU} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {DF} ;\overrightarrow {DZ} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {DE} ;\overrightarrow {DZ} } \right)}}.\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {ED} ;\overrightarrow {EX} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {EX} } \right)}} = - 1
\]
Theo định lý Ceva sin đảo cho $\vartriangle DEF$, ta có $FU,EX,DZ$ đồng quy hay $XT,YU,ZV$ đồng quy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-06-2013 - 10:50