$\boxed{\text{Bài toán 43}}$ http://www.artofprob...opic.php?t=5697
$ABC$ be a triangle.$P$ and $Q$ are the feet of angle besectors from $A$ and $B$.$D$ and $E$ are the feet of altitudes from $A$ and $B$.$I$ is the incentre,$O$ is the circumcentre of triangle $ABC$.Prove:$D,E,I$ are collinear iff $P,Q,O$ are collinear.
====================================================
Cho tam giác $ABC$.Gọi $P$ và $Q$ là chân đường phân giác kẻ từ $A$ và $B$.Gọi $D$ và $E$ là chân các đường cao vẽ từ $A$ và $B$ của tam giác $ABC$.Gọi $I$ là tâm nội tiếp,$O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh rằng $D,E,I$ thẳng hàng khi và chỉ khi $P,O,Q$ thẳng hàng.
Bài toán sẽ rất dài và khó nếu ta không dùng đến phương pháp tọa độ và các biến đổi đại số.Mình xin trích dẫn một số lời giải trên Mathlinks như sau:
Nhưng trước tiên ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản của tọa độ "trilinear"
Định nghĩa:Cho tam giác $ABC$,và một điểm $P$ bất kì.Qua $P$ vẽ $PD,PE,PF$ lần lượt vuông góc với $BC,CA,AB$.Giả sử:
$PD:PE:PF=x:y:z$.Khi đó ta nói $(x,y,z)$ là tọa độ "trilinear" của $P$ với tam giác $ABC$.
Định lí:Giả sử với tam giác $ABC$,ta có:$D(x,y,z);E(m,n,p);F(p,q,r)$.Khi đó $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi
$\begin{vmatrix} x &y &z \\ m &n &p \\ a&b &c \end{vmatrix}=0$.$\Leftrightarrow xnc+ypa+zmb-zna-ymc-xpb=0$.
Định lí này có trong nhiều tài liệu về phương pháp đại số trong hình học(Các bạn tự tìm đọc)
Lời giải của Darij Grinberg:
Từ định nghĩa ta dễ dàng có:
$I(1,1,1)$,$D(0,\cos C,\cos B)$,$E(\cos C,0,\cos A)$.Do đó $I,D,E$ thẳng hàng;
$\begin{vmatrix} 1 &1&1 \\ \cos C&0 & \cos A \\ 0& \cos C & \cos B \end{vmatrix}=0$
tương đương:$\cos C=\cos A+\cos B$.
Lại có:$P(0,1,1)$,$Q(1,0,1)$ và $O(\cos A,\cos B,\cos C)$ Nên tương tự như trên,ta cũng có $P,O,Q$ thẳng hàng khi và chỉ khi:$\cos A+\cos B=\cos C$.
Do đó ta có dpcm.
Có một cách khác cũng dùng phương pháp tọa độ nhưng không dùng đến toạ độ "trilinear",mà dùng tọa độ tỉ cự cũng rất ngắn gọn đó là dùng tọa độ tỉ cự.Với tọa độ tỉ cự,điều kiện thẳng hàng vẫn tương tự như trên nhưng:
$O(\sin 2A,\sin 2B,\sin 2C)$ và $I(a,b,c)$ ($a,b,c$ là ba cạnh tam giác)
Chú ý rằng với điều kiện $\cos C=\cos A+\cos B$ thì bằng lượng giác ta dễ dàng chỉ ra được $R=r_c$,với $R$ và $r_c$ là bán kính ngoại tiếp và bán kính bàng tiếp góc $C$.Vậy ta có thể viết lại bài toán thành:
$P,O,Q$ thẳng hàng $\Leftrightarrow R=r_c$ $\Leftrightarrow$ $D,I,E$ thẳng hàng.
P/s:Vẫn rất hoan nghênh bạn nào giải không dựa vào phương pháp tọa độ.Mình nghĩ bài toán còn có thể giải bằng lượng giác nhưng biến đổi sẽ rất cồng kềnh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 13-06-2013 - 12:03