Đến nội dung

Hình ảnh

Các bài toán về số chính phương .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
Zony Nguyen

Zony Nguyen

    Đốt Lửa

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Bài 1 :

a , Tìm các số nguyên $x$ để  $x^{2}-2x -14$ 

           b, tìm số nguyên tố $p$ để $4p +1$ là số chính phương .

Bài 2 :

Chứng minh 

$A = n^{6} - n^{4} +2n^{3} +2n$ không là số chính phương . 

Bài 3 :

a,Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n\geq 1$ sao cho :

$1^{2}+2^{2}+.....+ n^{2}$ là một số chính phương .

b, Tìm các  số chính phương sao cho nó chia 39 được thương số nguyên tố và dư 1

c, Tìm $a ,b$ để $M = x^{4}-6x^{3}+ax^{2} +bx +1$ .

Bài 4 :

a, Số chính phương $M$ gồm 4 chữ số . Nếu ta thêm vào mỗi số của $M$ thì được số $N$ là số chính phương . Tìm $M$ ,$N$ .

b, CMR : Số $a = 11...1 +44....4 +1$ là bình phương của một số tự nhiên . ( trong đó có $2k$ chữ số 1  và  $k$ chữ số 4 )

c, CMR : Với mọi  $n \epsilon Z$ ; $n> 0$ thì : $A = n^{4} +2n^{3} +2n^{2} +2n +1$ không là số chính phương .

d, Cho $N= 1.2.3 + 2.3.4 + ....n(n+1)(n+2)$ CMR : $4N +1$ là một số chính phương với mọi n nguyên dương .

Bài 5 : 

a , Tìm số tự nhiên $n$ để $n+24$ và $n-65$ là hai số chính phương .

b, CMR : Số  $22499.....9100....09 là số chính phương   (n-2 chữ số  9 ; n chữ số  0)$

Bài 6 : 

a, Chứng minh rằng $A = x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$   là tổng các bình phương của 3 số nguyên nếu $x +y+z =t$ và thuộc nguyên .

b, Chứng minh rằng với $x ; y \epsilon Z$ thì $P = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y^{4}$ là một số chính phương . 

c, Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương .

Bài 7 : 

a,Cho $m, n$ là các số thỏa mãn $3m^{2}+n= 4m^{2}+n$ .

Chứng minh rằng $m-n$ và $4m+4n+1$ đều là số chính phương .

b, Tìm các số tự nhiên $x$ để $\frac{x^{2}+8}{x+8}$ là số chính phương .

c, Chứng minh rằng : Với mọi $x\epsilon Q$ thì giá trị của đa thức :

$M = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$ là bình phương của một số hữu tỉ .

 

P/s : Mấy bài dễ anh em vào góp vui .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zony Nguyen: 02-04-2013 - 23:14

Chúc anh em luôn vui vẻ ! nhiều sức khỏe ! Nhận nhiều like

#2
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

bài 1 a là gì zậy


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

1b

xét p=2$\rightarrow$ngon

p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#4
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

câu 3 nữa đề thế nào đấy


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#5
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Câu 1

a) $x^{2}-2x+14=y^{2}\Leftrightarrow (y-x+1)(y+x-1)=13$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y-x+1=1\\ y+x-1=13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-1\\ y+x-1=-13 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=13\\ y+x-1=1 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} y-x+1=-13\\ y+x-1=-1 \end{matrix}\right.$

 

Câu 4

b) $a=11...1+44...4+1=10^{2k-1}+10^{2k-2}+...+1+4(10^{k-1}+10^{k-2}+...+1)+1=\frac{10^{2k}-1+4(10^{k}-1)+9}{9}=\left ( \frac{10^{k}+2}{3} \right )^{2}$

Mặt khác do $10\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 10^{k}\equiv 1(mod3)\Rightarrow 10^{k}+2\equiv 0(mod3)$

c) $(n^{2}+n)^{2} < n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1 < (n^{2}+n+1)^{2}$

Vậy $A$ không phải là số chính phương

 

Câu 6

a) $A=2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2xy+2yz+2zx=(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}$

b) $P=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^{4}=(x^{2}+5xy+4y^{2})(x^{2}+5xy+6y^{2})+y^{4}=(x^{2}+4xy+5y^{2})^{2}$

c) $H=(n-1)n(n+1)(n+2)+1=\left ( n^{2}+n \right )\left ( n^{2}+n-2 \right )+1=\left ( n^{2}-n-1 \right )^{2}$

 

Câu 7

a) $3m^{2}+m=4n^{2}+n\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^{2}$      $(1)$

Mặt khác, $(m-n;4m+4n+1)=1$. Thật vậy, giả sử $(m-n;4m+4n+1)=d$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$ suy ra $m^{2}\vdots d^{2}\Leftrightarrow m\vdots d$

Do đó $n\vdots d$ $\Rightarrow 1\vdots d$

Vậy $(m-n;4m+4n+1)=1$

Ta có đpcm.

b) $Q=\frac{x^{2}+8}{x+8}=x-8+\frac{72}{x+8}$

Để $Q$ là số chính phương thì $72\vdots (x+8)$...

c) $M=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16=(x^{2}+10x+16)(x^{2}+10x+24)+16$

$=\left ( x^{2}+10x+16 \right )+8(x^{2}+10x+16)+16=\left ( x^{2}+10x+18 \right )^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 02-04-2013 - 20:05


#6
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Bài 2: Đề sai rùi bạn ơi thay n = 1 đúng mà bạn


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#7
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết

Bài 2 :

Chứng minh 

$A = n^{6} - n^{4} +2n^{3} +2n$$^2$ không là số chính phương . 

 

 

Bài 2: Đề sai rùi bạn ơi thay n = 1 đúng mà bạn

 

Phân tích:

$A=n^2(n^4-2n^2+1+n^2+2n+1)=n^2[(n^2-1)^2+(n+1)^2]=n^2(n+1)^2[(n-1)^2+1]$

Với n>1 thì rõ ràng trong [] ko CP nên A ko CP (ĐPCM)



#8
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

tìm số tự nhiên n để $13n+3$ là số chính phương (bài này khá ảo)


 B.F.H.Stone


#9
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

tìm số tự nhiên n để $2^{11}+2^{8}+2^{n}$ là số chính phương 


 B.F.H.Stone


#10
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

tìm số tự nhiên n để $2^{11}+2^{8}+2^{n}$ là số chính phương 

Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$

Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$

$\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#11
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Câu 5a:

Ta có : $n+24 = p^{2}, n-65 = q^{2}$

$\Rightarrow p^{2}-q^{2}=89\Leftrightarrow (p-q)(p+q)=1.89\Rightarrow q=\pm 44,p=\pm 45\Rightarrow n=2001$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#12
4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết

chứng minh rằng với mọi số nguyên x lớn hơn 1 biểu thức $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương


 B.F.H.Stone


#13
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

bài 1 a là gì zậy

Câu 1a em không hiểu đề  


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#14
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

chứng minh rằng với mọi số nguyên x lớn hơn 1 biểu thức $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương

Giả sử $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ là số chính phương

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=k^{2}\Rightarrow 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}$ 

Ta có : $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\leq 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=4k^{2}<\left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}\Rightarrow x=0(L) & & \\ 4\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x \right )=\left ( 2x^{2}+x+1 \right )^{2}\Rightarrow x=1(L) & & \end{bmatrix}$

Vậy $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x$ không là số chính phương


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#15
upinmie

upinmie

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Tìm x,y là số tự nhiên sao cho $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x=y^{2}$



#16
Aries Intelligent

Aries Intelligent

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Ta có : $2^{8}+2^{11}+2^{n}=k^{2}\Leftrightarrow 2304+2^{n}=k^{2}\Rightarrow 2^{n}=(k-48)(k+48)$

Đặt $k - 48 = 2^{p}, k+48=2^{q} (p<q,p+q=n)$

$\Rightarrow 96=2^{q}-2^{p}=2^{p}(2^{q-p}-1)=2^{5}.3\Rightarrow p=5,q=7\Rightarrow n=12$

Ồ thanks. Mình cũng đang bí bài này :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Aries Intelligent: 16-06-2014 - 08:39


#17
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

Cho $T=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ với n tự nhiên. CMR nếu T tự nhiên thì T là số chính phương



#18
Harvey

Harvey

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Giúp mình với.

1.Tìm n sao cho n2+n+43 là số chính phương.

2.Tìm số chính phương có 4 chữ số.Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số đó 1 đơn vị thì được 1 sô chính phương

Có lời giải thì tốt lém



#19
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

1b

xét p=2$\rightarrow$ngon

p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại

mình không hỉu tại sao p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại



#20
ZzThuyDuongzZ

ZzThuyDuongzZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

mình không hỉu tại sao p$> 2$suy ra p lẻ đặt p=2k+1$\rightarrow 4p+1\equiv 5(mod8)\rightarrow$vô lí loại

Do $4p+1=8k+5\equiv 5(mod8)$ suy ra vô lí.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh