Bài toán 14
Tính $S=\sum_{k=1}^n(-1)^{{k+2\choose 3}}2^k$
Ta có điều quan trọng sau:
$(-1)^{{k+2\choose 3}}=(-1)^{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}}=\begin{cases}-1\quad :\; k\equiv 1\pmod 4\\1\quad:\;otherwise\end{cases}$
Từ đó ta có:
$S=\sum_{k=1}^n2^k-2\left(\sum_{1\le k=4m+1\le n}2^{4m+1}\right)$
$\quad=2^{n+1}-2-\sum_{m=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{4}\right\rfloor}4^{2m+1}$
$\quad=2^{n+1}-\dfrac{64.16^{\left\lfloor\frac{n-1}{4}\right\rfloor}}{15}-\dfrac{26}{15}$
@Dark templar: Xem lời giải này xong mới biết mình còn kém quá...
@hxthanh: Mỗi bài có một cái hay mà em
Mà em kiểm tra lại bài 11 và đáp án đi nhé! Sẽ phát hiện ra ngay sai ở chỗ nào!
Riêng bài 13 thì có một cách "Dãy số hóa" nhưng anh chờ đợi một lời giải bằng hàm sinh hơn!
@Dark templar:Đã biết sai ở đâu. Còn bài 13 thì em đang có 1 số mắc míu chưa rõ về cái định lý A nhưng em nghĩ có thể "xử" đẹp bằng định lý A hay B
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-04-2013 - 22:00