Đề của BTC
Cho tam giác $ ABC $ có phươnng trình các đường thẳng là:
$$ (AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0 $$
Lập phương trình đường thẳng $ (d) $ đi qua điểm $ M \left ( \frac{3}{2} ; 6 \right ) $ và chia tam giác $ ABC $ thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Ta có phương trình ba cạnh $AB,BC,CA$, dễ dàng lập các hệ phương trình để suy ra toạ độ các điểm $A(-1;1);B(3;5);C(1;-3)$, từ đó có độ dài các cạnh là:
$\left\{\begin{matrix} AB=4\sqrt{2}\\ BC=2\sqrt{17}\\ AC=2\sqrt{5} \end{matrix}\right.$
Tính $S_{\Delta}ABC=\frac{1}{2}.d(A;BC).BC=\frac{1}{2}.\frac{12\sqrt{17}}{17}.2\sqrt{17}=12$
Vậy đường thẳng $(d)$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng $6$
Vẽ các điểm $A,B,C,M$ lên trục toạ độ $Oxy$
Từ hình vẽ, nhận thấy rằng đường thẳng $(d)$ hoặc cắt $AB$ và $AC$ hoặc cắt $AB$ và $BC$
TRƯỜNG HỢP 1: $(d)$ cắt $AB$ và $AC$
Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(a;a+2)$;(với $-1<a<3$)
Giả sử $(d)$ cắt $AC$ tại $E(b;-1-2b)$;(với $-1<b<1$)
Tính $\cos(\widehat{BAC})=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\Rightarrow \sin(\widehat{BAC})=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$AD=\sqrt{2(a+1)^{2}}$
$AE=\sqrt{5(b+1)^{2}}$
$\Rightarrow S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE.\sin (\widehat{BAC})=6$
$\Leftrightarrow (a+1)^{2}.(b+1)^{2}=16$
Mặt khác, do $D,E,M \in (d)$ nên $\overrightarrow{DM}$ cùng phương $\overrightarrow{EM}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2a}{3-2b}=\frac{4-a}{7+2b}$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} (a+1)^{2}.(b+1)^{2}=16\\ (3-2a)(7+2b)=(4-a)(3-2b) \end{matrix}\right.$
Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} a=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}\\ b=\frac{-2+\sqrt{34}}{5} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} D(\frac{-17+4\sqrt{34}}{5};\frac{-7+4\sqrt{34}}{5})\\ E(\frac{\sqrt{34}-2}{5};\frac{-1-2\sqrt{34}}{5}) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{DE}=(\frac{15-3\sqrt{34}}{5};\frac{6-6\sqrt{34}}{5})$ là VTCP của $(d)$
Mà $(d)$ qua $M(\frac{3}{2};6)$
$\Rightarrow (d):(6-6\sqrt{34})x+(3\sqrt{34}-15)y+81-9\sqrt{34}=0$
TRƯỜNG HỢP 2: $(d)$ cắt $AB$ và $BC$
Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $E(c;c+2)$;(với $-1<c<3$)
Giả sử $(d)$ cắt $BC$ tại $F(d;4d-7)$;(với $1<d<3$)
Tính $\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2.AB.BC}=\frac{5\sqrt{34}}{34}$
$\Rightarrow \sin(\widehat{ABC})=\frac{3\sqrt{34}}{34}$
$BE=\sqrt{2(c-3)^{2}}$
$BF=\sqrt{17(d-3)^{2}}$
$\Rightarrow S_{\Delta BFE}=\frac{1}{2}.BF.BE.\sin (\widehat{BAC})=6$
$\Leftrightarrow (c-3)^{2}.(d-3)^{2}=16$
Mặt khác, do $E,M,F \in (d)$ nên $\overrightarrow{EM}$ cùng phương $\overrightarrow{FM}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2c}{3-2d}=\frac{4-c}{13-4d}$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} (c-3)^{2}.(d-3)^{2}=16\\ (3-2c)(13-4d)=(4-c)(3-2d) \end{matrix}\right.$
Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} c=\frac{27-2\sqrt{106}}{5}\\ d=\frac{15-\sqrt{106}}{7} \end{matrix}\right.$
Trường hợp này phải bị loại vì d < 1
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} E(\frac{27-2\sqrt{106}}{5};\frac{37-2\sqrt{106}}{5})\\ F(\frac{15-\sqrt{106}}{7};\frac{11-4\sqrt{106}}{7}) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{EF}=(\frac{-114+9\sqrt{106}}{35};\frac{-24-6\sqrt{106}}{35})$
$\Rightarrow \overrightarrow{a}=(38-3\sqrt{106};2\sqrt{106}+8)$là VTCP của $(d)$
Mà $(d)$ qua $M(\frac{3}{2};6)$
$\Rightarrow (d):(2\sqrt{106}+8)x+(3\sqrt{106}-38)y+216-21\sqrt{106}=0$
Điểm bài: 8
S=21+3*8=45
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-06-2013 - 15:40
Chấm bài