Đến nội dung

Hình ảnh

$abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$ với $a+b+c=3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nguyen Hoai Linh

Nguyen Hoai Linh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

                 $abc(a^2+b^2+c^2) \leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35
Chú ý Latex và tiêu đề

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

                  $abc(a2+b2+c2)$\leq 3$

BĐT đã cho tương đương với 

                     $abc\left [ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ac) \right ]=abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq 3$

Áp dụng AM-GM ta có $(ab+bc+ac)^2 \geq 3abc(a+b+c)=9abc$

                           $\Rightarrow 2(ab+bc+ac) \geq 6\sqrt{abc}$

Do đó $abc\left [ 9-2(ab+bc+ac) \right ] \leq abc(9-6\sqrt{abc})$

Đặt $\sqrt{abc}=t\Rightarrow 0 <t \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1$

Ta cần chứng minh $t^2(9-6t) \leq 3$ với $0 < t \leq 1$

                      $\Leftrightarrow (t-1)^2(2t+1) \geq 0$

Nhưng bất đẳng trên luôn đúng

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 06-04-2013 - 10:35

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh