Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $d$ chia hết cho $2010$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết

Cho hai đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn $P(x^3)+xQ(x^3)$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của$P(2011)$ và $Q(2011)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $2010$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 06-04-2013 - 15:49

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#2
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Cho hai đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn $P(x^3)+xQ(x^3)$ chia hết cho $x^2+x+1$. Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của$P(2011)$ và $Q(2011)$. Chứng minh rằng $d$ chia hết cho $2010$

Sử dụng $P(a)-P(b)\vdots a-b$ ta được : $P(x^3)-P(1)\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

và $xQ(x^3)-xQ(1)\vdots x^3-1\vdots x^2+x+1$

$\Rightarrow P(1)+xq(1)\vdots x^2+x+1$.Với $x$ đủ lớn thì $VP>VT$ $\Rightarrow P(1)+xQ(1)= 0\Rightarrow P(1)=Q(1)=0$

$\Rightarrow P(x)= (x-1)R(x);Q(x)= (x-1)H(x);$.Dễ chứng minh $R(x),H(x)\in\mathbb{Z}[x]$

$\Rightarrow P(2011)= 2010R(x);Q(2011)= 2010H(x);$

$\Rightarrow d\vdots 2010$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh