Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Topic này được sử dụng để các ĐHV tổng hợp các bài toán chưa có lời giải trong box Dãy số-Giới hạn. Các bài đã có lời giải sẽ được bôi đỏ.

 

Mong các bạn lưu ý là không post lời giải trong topic này mà hãy bấm vào đường link của bài toán và post lời giải. Khi các bạn đưa lời giải cũng hãy thông báo trong topic này bài mà bạn đã giải được để các ĐHV có thể dễ dàng cập nhật.

**********

Bài 1: Tính $\lim_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k + 1}\sum\limits_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n}\dfrac{2^k}{[(i_1 + 1)(i_2 + 1)]...[(i_k + 1)(i_k + 2)]}\right).$

 

Bài 2: Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $

Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

 

Bài 3: Cho dãy {x_n} xđ bởi

$x_0=1, x_1=2$,
$n(n+1)x_{n+1} =n(n-1)x_n - (n-2) x_{n-1}$
Tính $\dfrac{x_1}{x_2}+ \dfrac{x_2}{x_3}+... +\dfrac{x_{49}}{x_{50}}+ \dfrac{x_{50}}{x_{51}} $

 

Bài 4: Cho dãy$ x_{n}$ xác định bởi $x_1=a, x_{n+1}=\dfrac{2x_{n}^{3}}{3x_{n}^{2}-1}$

Tìm $a$ để dãy có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 5: Hãy tìm hai số nguyên a, b sao cho $(a,b) = 1$ và dãy số $ (u_n ) $ với $ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = a \\ u_2 = b \\ u_{n + 2} = u_n + u_{n + 1} ,n \ge 1 \\ \end{array} \right. $

gồm toàn các hợp số.

 

Bài 6: Cho $\{u_n \}$ là dãy các số không âm $(n=1,2,3,...)$ thỏa các đk sau:

1. $u_{m+n}-u_{m}-u_{n}$ bằng 0 hay bằng 1,$ \forall m,n \in N^*$
2. $u_2=0$
3. $u_3>0$
4. $u_{9999}=3333$

Tính $u_{2000}$.

 

Bài 7: Cho 2 dãy $\{x_n \}: \left\{\begin{array}{l}x_0=365\\x_{n+1}=x_{n}(x_{n}^{1996}+1)+1632\end{array}\right.$ và $\{y_n \}: \left\{\begin{array}{l}y_0=16\\y_{n+1}=y_{n}(y_{n}^2+1)-5625\end{array}\right.$

Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào đồng thời là phần tử của 2 dãy trên.

 

Bài 8: Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

 

Bài 9: Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$

Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

 

Bài 10: Cho $n \in N^*$.Chứng minh rằng:$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^{n}-\sin^{n}{x}}{x^{n+2}}=\dfrac{n}{6}$

 

Bài 11: $a_1=1,a_2=a_3=7, a_{n+1}=\frac{a^2_n+a^2_{n-1}-1}{a_{n-2}}$,CMR:$3a^2_n-3$ là 1 số chính phương.

 

Bài 12: Cho $a>2$  và dãy $\{x_{n} \}$ với $x_1=a$ và $2x_{n+1}=\sqrt{3x_{n}^2+\frac{n+3}{n}}$.Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Bài 13: Cho $a,b$ là 2 số thực thuộc khoảng $(0,1)$,Dãy số $(u_n),(n=0,1,2,3...,n)$ được xác định như sau $u_0=a,u_1=b và {u_{n + 2}} = \dfrac{1}{{2010}}u_{n + 1}^4 + \dfrac{{2009}}{{2010}}\sqrt[4]{{{u_n}}}$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

Bài 14: Cho $p \in [1;2)$ Chứng minh tồn tại dãy số $\{u_n \}$ thỏa mãn $\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 \right)u_{n}^{1-\dfrac{1}{p}}< \infty$.

 

Bài 15: Cho: $u_1=1;u_2=2;u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^3 -1}{u_{n-1}}$.Tìm số hạng tổng quát của dãy?

 

Bài 16: Cho $x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{k-1}{k} \right )^{n} $

Tính $\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}}{n}$.

 

Bài 17: Cho dãy số $( a_n)_{n\geq 1}$ được xác định bởi $a_{1}=1$ và $ a_n=\frac{2n-3}{2n}a_{n-1}$ với mọi $n\geq 2 $.Ta lập dãy số $(b_{n})_{n\geq 1}$ như sau $b_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ với $n=1,2,3... $.Chứng minh rằng dãy $(b_{n})_{n\geq 1}$có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó.

 

Bài 19: Tính giới hạn sau:

$$\lim \left( {\frac{{{1^k} + {2^k} + ... + {n^k}}}{{{n^k}}} - \frac{n}{{k + 1}}} \right)$$
Không dùng định lý Stolz.

 

Bài 20: Cho $x_{n}:1<x_1<x_2 ;x_{n+1}= 1 + x_{n} - \frac{x_{n}^2}{2}$

CMR $x_n $ có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

 

Bài 21: Cho $F$ là một nguyên hàm của hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho ${e^{x - F\left( x \right)}} = F\left( x \right)$. Tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {f\left( x \right)} \right)^x}$.

 

Bài 22: Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$: $\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 \\x_{n+1} =7-log_{3}\left ( x_{n}^{2} +11\right )\end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó.

 

Bài 23: Xét dãy số thực $(x_{n})$ cho bởi :

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=a & \\ x_{n+1}= 3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n} & \end{matrix}\right.$
Xác định a để $(x_{n})$ có giới hạn .Tìm giới hạn đó.

 

Bài 24: Tìm giới hạn của dãy $(u_{n})$ cho bởi :

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011 & \\ u_{n+1}=\frac{\pi }{8}(cosu_{n}+\frac{cos2u_{n}}{2}+\frac{cos3u_{n}}{3}) & \end{matrix}\right.$ , $n\geq 1.$

 

Bài 25: Cho dãy $\{u_{n} \}_{1}^{\infty}$ được xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=a \\ u_{n+1}=u_{n}+\ln{\left ( \frac{2u_{n}+3}{u_{n}-1} \right )} \end{matrix}\right.$$
Tùy theo $a$,hãy xét tính hội tụ của $\{u_{n} \}$.

 

Bài 26: Cho dãy số $(U_n)$ được xác định bởi $U_0= U_1=1$ và $U_{n+1}=\sqrt{U_n}+\sqrt{U_{n-1}}$

Tìm công thức số hạng tổng quát $U_n$ của dãy.

 

Bài 27: Cho $m$ là số nguyên dương .Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$như sau $a_0=1,a_1=m$và $a_m=m^2 a_n-a_{n-1}$với $n=1,2,...$Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$với $a\leq b$ là nghiệm của phương trình $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=m^{2}$khi và chỉ khi $(a,b)=( a_n,a_{n+1})$với n là một số tự nhiên nào đó.

 

Bài 28: Chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty }(a_{n+1}-\frac{ a_n}{2})=0$ thì $\lim_{n \to \infty } a_n=0$

b) Tìm các giá trị của ấo cho nếu $\lim_{n \to \infty }(a_{n+1}-aa_{n})=0$ thì $\lim_{n \to \infty } a_n=0$

 

Bài 29: Gọi $\phi (n)$là hàm Euler .Tìm tất cả các số nguyên k>1thoả mãn điều kiện :Với a là số ngưyên >1 bất kì đặt $x_0=a,x_{n+1}=k\phi (x_{n})$ với $n=0,1...$thì $(x_{n})$ luôn bị chặn.

 

Bài 30: Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 18-04-2013 - 12:25

[dark templar]

Bài 31: Cho $x_{1}=1$ và $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}-1}{2}$ .Tìm số hạng tổng quát của $x_{n}$.

 

Bài 32: Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $tan\frac{5\pi }{12},tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha),tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.

 

Bài 33: Cho dãy số xác định như sau: $x_0=4;x_1=x_2=0;x_3=3$ và $x_{n+4}=x_{n}+x_{n+1}$. Chứng minh rằng với mọi $p$ nguyên tố thì $x_{p}$ chia hết cho $p$.

 

Bài 34: Tìm ${x_n}$ biết rằng ${x_1} = a > 0$ và với mọi $n \in \mathbb{N^*}$, ta luôn có: $${x_{n + 1}} = \frac{{f\left( {n + 1} \right)}}{{{f^k}\left( n \right)}}x_n^k$$

trong đó ${f\left( n \right)}>0$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$; $k$ là số nguyên dương cho trước.

 

Bài 35: Cho dãy xác định ${a_1} = 512;{a_2} = 29;{a_{n + 1}} = 3a_n^2 - {a_{n - 1}}\forall n \ge 2$

CMR tồn tại vô số số hạng của dãy chia hết cho 2011.

 

Bài 36: Cho dãy ${a_n}$ không giảm trong $\left[ { - 1;1} \right]$. Chứng minh:

\[\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sqrt {1 - {a_i}{a_{i + 1}} \pm \sqrt {\left( {1 - a_i^2} \right)\left( {1 - a_{i + 1}^2} \right)} } < \frac{{\pi \sqrt 2 }}{2}} \]

 

Bài 37: Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt.Xét dãy $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$.Tính $\lim x_{n}$ theo $\alpha$.

 

Bài 38: Cho ${x_{n}}$,$n\geq 0$,và $x_{0}$,

$x_{n}= x_{n-1}+\frac{3^{r+1}-1}{2} $nếu $n=3^{r}(3k+1)$
$x_{n}= x_{n-1}+\frac{3^{r+1}+1}{2} $nếu $n=3^{r}(3k+2)$
với k,r tự nhiên,CMR mọi số nguyên xuất hiện đúng 1 lần trong dãy.

 

Bài 40: Cho dãy $x_{1}=x_{2}=x_{3}=1$,và $x_{n+3}=x_{n}+x_{n+2}x_{n+1}$ với mọi số tự nhiên n.

CMR với số nguyên dương m có số nguyên dương k thỏa m chia hết $x_{k}$.

 

Bài 41: Cho dãy xác định như sau ${u_1} = 5;{u_2} = 16;{u_{n + 2}} = 2012{u_{n + 1}} - {u_n},\forall n \ge 1$.CMR

$4048140u_{2012}^2 - 642716$ là SCP.

 

Bài 42: Cho $u_1=1;u_2=2;u_3=24$ và với mọi $n \ge 3$ thì $u_{n}=\frac{6u_{n-1}^2u_{n-3}-8u_{n-1}u_{n-2}^2}{u_{n-2}u_{n-3}}$.Chứng minh $u_{n}$ luôn là bội của $n$.

 

Bài 43: Cho p là số nguyên dương cho trước.Tìm tất cả dãy số nguyên dương $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\forall m,n \in {N^*};({u_m} + np)({u_n} + mp)$ là SCP.

 

Bài 44: Xác định CTTQ của dãy $\{u_{n} \}$ được cho bởi hệ thức truy hồi sau:

$$u_{2n+1}=4-3u_{n};\forall n \in \mathbb{N}$$

 

Bài 45: Xét dãy số $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix}x_1=a \ge 1 \\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^2-2\left ( x_{n}-\left \lfloor x_{n} \right \rfloor \right )^2}{\left \lfloor x_{n} \right \rfloor^2} \end{matrix}\right.$.

Chứng minh dãy $\{x_{n} \}$ hội tụ và tìm $\lim x_{n}$.

 

Bài 46: Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \mapsto \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :

1/ Dãy $\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right )_{n\ge 1}$ hội tụ về $1$ ( giới hạn là $1$)
2/ Dãy $ F(n)_{n\ge 1} $ hội tụ về $0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$

Chứng minh các khẳng định sau :

a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về $1$ số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó.

 

Bài 47: Cho dãy số xác định như sau: 

$u_{1}=1,u_{2}=3,$
$u_{3}=4,u_{4}=6,u_{5}=8,$
$u_{6}=9,u_{7}=11,u_{8}=13,u_{9}=15,$
$u_{10}=16,u_{11}=18,u_{12}=20,u_{13}=22,u_{14}=24$
$u_{15}=25,u_{16}=27,u_{17}=29,u_{18}=31,u_{19}=33,u_{20}=35$
.......................
Tìm số hạng tổng quát của dãy.

 

Bài 48: Cho 2 điểm cố định $P_{1}$ và $P_{3}$. Điểm $P_{2}$ nằm trên đường thẳng đi qua $P_{3}$ và vuông góc với $P_{1}P_{3}$. Dãy điểm $P_{4},P_{5},P_{6}$,... được định nghĩa bằng quy nạp như sau: $P_{n+1}$ là chân đường vuông góc hạ từ $P_{n}$ xuống $P_{n-1}P_{n-2}$. Chứng minh rằng: dãy điểm này hội tụ đến 1 điểm $P$ (vị trí điểm này phụ thuộc vào $P_{2}$). Tìm quỹ tích điểm $P$ khi $P_{2}$ di động trên đường thẳng đi qua $P_{3}$ và vuông góc với $P_{1}P_{3}$.

 

Bài 49: Cho dãy $\begin{Bmatrix}f_n\end{Bmatrix}_{n\ge 1}$ xác định như sau (dãy Fibonaci)

$f_1=f_2=1; f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\forall n\ge 3$
Giả sử mới một số $n$ nào đó , $a,b$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $$min \begin{Bmatrix}\frac{f_n}{f_{n-1}};\frac{f_{n+1}}{f_n}\end{Bmatrix}\le \frac{a}{b}\le max \begin{Bmatrix}
\frac{f_n}{f_{n-1}};\frac{f_{n+1}}{f_n}
\end{Bmatrix}$$
Chứng minh rằng $b\ge f_{n+1}$.

 

Bài 50: Cho dãy Fibonaci $F_n$

đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$.

 

Bài 51: Tìm công thức tổng quát của dãy ${a_k}$ thỏa:

$\begin{cases}& \ a_1=1 \\& \ a_2=2 \\& \ a_{2k+1}=a_{2k} \\& \ a_{2k}=a_{2k-2}+a_k\end{cases}$.

 

Bài 52: Cho dãy $\{a_{n} \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_1;a_2>0$ và $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_{n}}$.Chứng minh dãy này hội tụ.

 

Bài 53: Xét dãy số $\{x_{n} \}_{0}^{\infty}:\left\{\begin{matrix}0<a;b<4 \\ x_0=a;x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_{n})}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_{n}}}\end{matrix}\right.$

Tìm giới hạn của dãy số này nếu có.

 

Bài 54: Cho dãy số $(u_n)$ thỏa: $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$

Tìm $u_1$ để dãy$(u_n)$ hội tụ.

 

Bài 55: CHo ham f(x) lien tuc va duong tren [0;1] .CMR $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {f(\frac{1}{n})f(\frac{2}{n})...f(\frac{n}{n})} = {e^{\int\limits_0^1 {\ln f(x)dx} }}$.

 

Bài 56: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau:

$$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=a \\
& {{u}_{n}}.u_{n+1}^{2}=1 \\
\end{align} \right.$$. Tìm công thức tổng quát của dãy số đó.

 

Bài 57: Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n\epsilon N$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p.

 

Bài 58: Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $x_i\geqslant 0,i=0,1,2,...,n$ $x_0=1$ và

$$x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2}$$
Chứng minh:
$$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}$$

($f_{n}$ là dãy Fibonaci.)

 

Bài 59: Xét khai triển hàm số sau:

$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

 

Bài 60: Tính $\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}}{2^{2n}}\binom{2n}{n}=?$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-04-2013 - 16:39

[dark templar]

Bài 61: Cho dãy Fibonaci

$\{F_n\}_1^\infty\quad:\quad\begin{cases}F_1=F_2=1 \\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\ge 3\end{cases}$

Chứng minh rằng: $\quad\sum_{k=1}^n \left\lfloor\dfrac{1}{2}+\dfrac{F_{k}}{4}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{F_{n+2}}{4}\right\rfloor$

 

Bài 62: Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức sau:

$$F_{k(n+1)}=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}F_{k-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}$$

 

Bài 63: Với mỗi số nguyên dương n,giả sử ${p_1},{p_2},...{p_{nk}}$ là các ước số của n.Đặt ${a_n} = \frac{1}{{{p_1}}} + \frac{1}{{{p_2}}} + ... + \frac{1}{{{p_{nk}}}}$.Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_2}{a_3}...{a_n}$,chứng minh $\sum\limits_{j = 2}^n {{a_2}{a_3}...{a_j}} < 1$

 

Bài 64: Cho dãy số {$u_n$}; $n=0,1,2,...$ được xác định như sau \[\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = a\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \sin {u_n}\end{array} \right.\] Tìm $\lim_{n\to \infty} u_n$

 

Bài 65: Cho dãy $\{x_{n} \}_{n \ge 0}:\left\{\begin{matrix} x_0=x_1=1;x_2=3;x_3=7\\ x_{n^2+1}=x_{n}.x_{n+1};\forall n \ge 0 \end{matrix}\right.$.Tìm CTTQ ?

 

Bài 66: Cho $a \ge 2$ và là số thực. Giả sử $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-ax+1=0$ . Đặt $S_n=x_1^n+x_2^n , n=1,2,3...$

Tìm tất cả $a$ sao cho

$\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}+...+\frac{S_n}{S_ {n+1}} > n-1$
với $n=1,2,...$

 

Bài 67: Cho dãy $x_n$ được xác định như sau:

$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên.

 

Bài 68: Giả sử dãy $(a_n)$ bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện $\large{a_{n+1}\sqrt[2^n]{2}\ge a_n,\,\, n\in \mathbb{N}}$

Hãy thiết lập sự hội tụ của dãy $(a_n)$

 

Bài 69: Cho $x_{1} = a>0$ và $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}-1}{n+1}$. Tìm a để $\frac{x_{n}}{n}$ hội tụ.

 

Bài 70: Cho $a_0=4, a_1=22$ và $a_{n+1}=2a_na_{n-1}+2$ . Chứng minh rằng ta có thể viết $a_n$ dưới dạng $a_n=\frac{y_n^2+7}{y_n-x_n}$ với $x_n;y_n\in \mathbb{N}$.

 

Bài 71: Tìm các giá trị $a\in \mathbb{R}$ sao cho dãy $(x_n)$ sau đây hội tụ $$x_0=a,x_{n+1}=\frac{4x_n^5+x_n^2-x_n-1}{5x_n^4+x_n},n=0,1,2,...$$

 

Bài 72: Cho $L_1=2, L_2=1$ và $L_{n+2}=L_{n+1}+L_n$ với $n\ge 1$ thỏa mãn dãy Lucas. Chứng minh rằng $\prod \limits_{k=1}^m L_{2^k+1}=F_{2^m+1}$ với $\{F_n\}_n$ là dãy Fibonacci.

 

Bài 73: Dãy Perrin là dãy được xác định bởi $P_0=3;P_1=0;P_2=2;P_n=P_{n-2}+P_{n-3} \quad \forall n \ge 3$. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên tố thì $n|P_n$

 

Bài 74: Với số nguyên dương $n$ và số thực $c$,ta xác định dãy số $\{x_{k} \}$ với $\left\{\begin{matrix} x_0=0;x_1=1\\ x_{k+2}=\dfrac{cx_{k+1}-(n-k)x_{k}}{k+1};\forall k \ge 0 \end{matrix}\right.$.

Chọn $c$ lớn nhất sao cho $x_{n+1}=0$.Định $x_{k}$ theo $k$ và $n$,với $1 \le k \le n$.

 

Bài 75: Cho dãy số xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_1=-2\\ u_{n}=u_{n-1}-u_{n-1}^2;\forall n \ge 2. \end{matrix}\right.$
Chứng minh dãy số sau có giới hạn $$\left( {{v}_{n}} \right)=\left( 1+u_{0}^{2} \right)\left( 1+u_{1}^{2} \right)...\left( 1+u_{n}^{2} \right)$$

 

Bài 76: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_1=a_2=1, a_3=2, a_{n+3}=2a_{n+2}a_{n+1}-a_n$. CMR: Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $2012|a_n^3+a_n^2+a_n+1.$

 

Bài 77: Cho trước $A \in \mathbb{N^*}$ và dãy số $\{x_{n} \}$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix}x_0=a_0,x_1=a_1,...,x_{m}=a_{m}(m<n)\\ b_0x_{n+1}=\sum\limits_{j=1}^{m+1}b_{j}x_{n-j+1}^{k_{j}}\end{matrix}\right.$$
Trong đó $a_{i} \in \mathbb{Z};b_{i} \in \mathbb{Z};k_{i} \in \mathbb{Z};(b_{i};A)=1;\forall i=\overline{0;m}$
Chứng minh rằng khi đó hoặc dãy không có số nào chia hết cho $A$,hoặc có vô số số chia hết cho $A$.

 

Bài 78: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

Bài 79: Cho dãy Fibonacci $\{F_{n} \}_{n \ge 0}$ thỏa mãn $F_0=0;F_1=1$ và $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1};\forall n \ge 1$.

Chứng minh $\forall k,e \ge 1$ thì $4F_{n}F_{n+k+e}F_{n-2k+e}+F_{k}^2F_{k+1}^2$ là số chính phương.

 

Bài 80: Cho trước 2 số nguyên dương $x,y$.Ta xét dãy số $\{a_{n} \}_{n \ge 1}$ xác định như sau :

\[\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 1\\{a_{n + 1}} = x{a_n} + \sqrt {ka_n^2 - y} ;\forall n \ge 1\end{array} \right.\]
Tìm $k$ nguyên sao cho dãy $\{a_{n} \}$ là dãy nguyên.

 

Bài 81: -Ta định nghĩa giá trị 'trung bình tuần hoàn' như sau:

$_m\delta_k(x)=\frac{\sum_{1\leq i_1< i_2< ...< i_k\leq m}\prod_{e=1}^{k}{x_{i_e}} }{C_m^k}$
Với $(x)_1^m$ là dãy lấy trung bình, $k$ là cấp của trung bình. ( $k=\bar{1;m}$ )
-Lấy $(x)_1^m$ là dãy dương,tăng thực sự, ta lập dãy $(a)_1^m$ theo công thức:
$a_n={_m\delta_n}(x^\frac{1}{n})$

-Hỏi, với giá trị nào của $m$ thì $(a)$ đơn điệu ?

 

Bài 82: Cho $\{f_n\}_{(n\ge 1)}$ là dãy Fibonacci thỏa mãn

\[f_1=f_2=1,\phantom{a} f_{n+2}=f_{n}+f_{n+1}\phantom{a}(n\ge 1)\]
1.Chứng minh rằng
\[\forall N\in\mathbb{N};\phantom{a}\sum_{n=1}^{N}\frac{f_n}{f_{n+1}}>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}N\]
2. Chứng minh rằng
\[\forall N\in\mathbb{N};\phantom{a}\sum_{n=1}^{N}\frac{f_{n+1}}{f_n}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}N+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\]

 

Bài 83: Tính $ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} x^{x+1}dx $

 

Bài 84: Tính giới hạn $ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}ln{\frac{e^x-1}{x}} $

 

Bài 85: Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 86: Cho dãy$(u_{n})$ thoả mãn: $u_{n+k+1}= \sum_{i=1}^{k}\alpha _{i}u_{n+i}^{m}$. Chứng minh rằng nếu $u_{i}\in[0;1]\;\forall\, i=\overline{1;\,k}$; $\alpha _{i}> 0\forall i=\overline{1,k}$ và $\sum_{i=1}^{k}\alpha _{i}\leq 1$ &$m\geq0 $ thì dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn.

Tìm giới hạn đó.

 

Bài 87: Cho hai dãy số $(u_n), (S_n)$ xác định bởi:

$u_1 = 2, u_2 = 8, u_n = 4u_{n-1} - u_{n-2}$ và
$S_n = \sum_{i=1}^{n}arccot (u^2_i)$.

Tìm $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$

 

Bài 88: Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt: $f_n(x)=\sin x\sin2x\sin4x...\sin2^nx\,\,\,(x\in\mathbb{R}).$ Chứng minh: $$\left|f_n(x)\right|<\dfrac{2}{\sqrt{3}}<\left|f_n\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right|$$

 

Bài 89: Cho dãy số $a_1, a_2, ..., a_n$ và số $c$ thỏa mãn 2 điều kiện:

1) $a_n =0$
2) $a_k = c+ \sum_{i=k}^{n-1}(a_i + a_{i+1})$ $\forall k=\overline{0,n-1}$.
Chứng minh $c \le \frac{1}{4n}$.

 

Bài 90: Cho hai dãy số $(u_n),(v_n)$ xác định bởi $$u_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}k!};\; v_n=u_n+\frac{1}{n^{\alpha+1}.n!},n\ge 1, a\in \mathbb{Q_+^*}$$ cố định là hai dãy kề nhau.

 

Bài 91: Cho dãy $(u_{n}):u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$.

$S_{2012}=2013;S_{2013}=2012$,với $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}u_{k}$.
Tìm $S_{1975}$.

 

Bài 92: Xét xem dãy sau có hội tụ không và tìm giới hạn (nếu có)

$x_0=a\in\mathbb{R},x_1=b\in\mathbb{R},x_{n+2}=-\dfrac{1}{2}\left(x_{n+1}-x_{n}^2\right)^2+x_{n}^4\;\forall n\in\mathbb{N} $ và $|x_n|\leq \dfrac{3}{4},\forall n\in\mathbb{N}$

 

Bài 93: Chứng minh $\lim_{n\to \infty} \frac{\pi (n)\ln (n)}{n}=1$

Với $\pi (n)$ là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$.

 

Bài 94: Cho dãy $\{x_{n} \}_{n \ge 1}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_{1}=1\\ x_{n}=n.x_{n-1}+1 \end{matrix}\right.$

Hãy tìm số n lớn nhất mà <1000 sao cho $x_{n}$ tận cùng là 2 chữ số 0.

 

Bài 95: Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[0;1]\to [0;1]$ dãy $\{x_n\}_{i=0}^{+\infty} $ được xác định như sau $x_{n+1}=f(x_n)$ và $\lim\limits_{n\to \infty}(x_{n+1}-x_n); x_0\in [0;1]$.

Chứng minh rằng dãy $x_n$ hội tụ.

 

Bài 96: Cho dãy $x_{n}=2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2n+2k-1}$.Tính $\lim n^2(\ln 2-x_{n})$.

 

Bài 97: Gọi $x_{n}$ là nghiệm của phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+...+\frac{1}{x-n}= 0$ trên  $(0;1)$.

a)Chứng minh $(x_{n})$ hội tụ 

b)Tìm giới hạn của  $(x_{n})$

 

Bài 98: Chứng minh (bằng cách sơ cấp nhất có thể) :

$$\zeta \left( 2 \right) = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + ... = \frac{{{\pi ^2}}}{6}$$

 

Bài 99: Cho 16 số nguyên dương $U_{1};U_{2};...;U_{k}$ lập thành 1 cấp số nhân mà

$10^{8}<U_{1}<U_{5}<10^{9}<U_{6}<U_{10}<10^{10}<U_{11}<U_{14}<10^{11}<U_{15}<U_{16}<10^{12}$

Tìm$U_{1}$.

 

Bài 100: Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3};x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}$. Tìm $a\in \mathbb{R}$ để dãy số $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ hội tụ.

 

Cập nhật đến ngày 30/04/2013.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 30-04-2013 - 21:11
Update !

[perfectstrong]

Bài 73 giải quyết rồi nhé anh Dark Templar