Chủ đề này có 5 trả lời

[Strygwyr]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq\frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

[hoangkkk]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq\frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$$\left ( a+b+c \right )^2\left ( \frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\right )\geq 9$$

Chú ý đẳng thức sau :

$$\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{a^2+b^2+ab}=\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\left ( a+b+c \right )^2-c\left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{1}{1-\frac{c}{a+b+c}-\frac{ab+bc+ca}{\left ( a+b+c \right )^2}}$$

Đặt $x=\frac{a}{a+b+c}$, $y=\frac{b}{a+b+c}$, $z=\frac{c}{a+b+c}$ và $t=\frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}$, lưu ý rằng $x+y+z=1$.

Bất đẳng thức được đưa về dạng :

$$\frac{1}{1-x-t}+\frac{1}{1-y-t}+\frac{1}{1-z-t}\geq 9$$

Quy đồng khử mẫu, đưa về chứng minh :

$$1-4(xy+yz+zx)+9xyz \geq 0$$

Bất đẳng thức trên chính là một biến đổi có được từ bất đẳng thức $Schur$ :

$x^3+y^3+z^3+3xyz \geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ trong trường hợp $x+y+z=1$.

 

Vậy ta có $đpcm$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkkk: 09-04-2013 - 23:40

[babystudymaths]

Ta thấy

BĐT tương đuơng

$\sum \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq \frac{9(\sum a^{2}+\sum ab)}{(a+b+c)^{2}}\Leftrightarrow 3+(a+b+c)(\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+bc})\geq \frac{9(\sum a^{2}+\sum ab)}{(a+b+c)^{2}}$,xét VT,ta tháy cần CM $3+(a+b+c)(\frac{a^{2}}{ab^{2}+abc+ac^{2}})\geq 3+\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{9(\sum a^{2}+\sum ab)}{(a+b+c)^{2}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}\geq 6$,đúng theo Cauchy,từ đây suy ra đ.p.c.m

[Mai Xuan Son]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$$\left ( a+b+c \right )^2\left ( \frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\right )\geq 9$$

Chú ý đẳng thức sau :

$$\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\left ( a+b+c \right )^2-c\left ( a+b+c \right )-\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{1}{1-\frac{c}{a+b+c}-\frac{ab+bc+ca}{\left ( a+b+c \right )^2}}$$

Đặt $x=\frac{a}{a+b+c}$, $y=\frac{b}{a+b+c}$, $z=\frac{c}{a+b+c}$ và $t=\frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}$, lưu ý rằng $x+y+z=1$.

Bất đẳng thức được đưa về dạng :

$$\frac{1}{1-x-t}+\frac{1}{1-y-t}+\frac{1}{1-z-t}\geq 9$$

Quy đồng khử mẫu, đưa về chứng minh :

$$1-4(xy+yz+zx)+9xyz \geq 0$$

Bất đẳng thức trên chính là một biến đổi có được từ bất đẳng thức $Schur$ :

$x^3+y^3+z^3+3xyz \geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ trong trường hợp $x+y+z=1$.

 

Vậy ta có $đpcm$.

ok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Xuan Son: 10-04-2013 - 17:02

[hoangkkk]

Đẳng thức sai bét cậu

Mình gõ nhầm $ab$ thành $c^2$. Cảm ơn bạn. Mình đã sửa lại.

[KietLW9]

Lời giải. 

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $\frac{1}{b^2+bc+c^2}=\frac{ab+bc+ca}{(b^2+bc+c^2)(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)}{(b^2+bc+c^2+bc+ab+ca)^2}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(b+c)^2(a+b+c)^2}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}\left [ \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right ]$

Như vậy, ta cần chứng minh: $(ab+bc+ca)\left [ \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \right ]\geqslant \frac{9}{4}$

Đây là bất đẳng thức $\text{Iran 96}$ quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh