I. PHẦN CHUNG CHO CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 : Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( H \right )$ của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left ( H \right )$ biết tiếp điểm của tiếp tuyến đó với $\left ( H \right )$ cách điểm $A\left ( 0;1 \right )$ một khoảng bằng $2$.
Câu 2 : Giải phương trình :
$$\left ( 1-\cos x \right )\cot x+\cos 2x+\sin x=\sin 2x$$
Câu 3 : Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+xy+x+3=0 & \\
\left ( x+1 \right )^2+3\left ( y+1 \right )+2\left ( xy-\sqrt{x^2y+2y} \right )=0 &
\end{matrix}\right. \left ( x,y \in \mathbb{R} \right )$$
Câu 4 : Tính tích phân : $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x\ln\left ( 1+\sin x \right )}{\sin^2x}dx$
Câu 5 : Cho tứ diện $ABCD$ có mặt phẳng $\left ( ABC \right )$ vuông góc với mặt phẳng $\left ( BCD \right )$, tam giác $BCD$ vuông ở $D$. Biết rằng $AB=a\sqrt{15}$, $BC=3a\sqrt{3}$, $CA=a\sqrt{6}$; góc giữa hai mặt phẳng $\left ( ACD \right )$ và $\left ( BCD \right )$ bằng $60^0$ . Tính thể tích của khối tứ diện $ABCD$ và khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left ( ACD \right )$ theo a.
Câu 6 : Cho các số thực $x$, $y$ thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2$. Tìm giá trị lớn nhất của :
$$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$$
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)
a) Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right ) : \left ( x-1 \right )^2+\left ( y-2 \right )^2=5$ và đường thẳng $d : x+y+2=0$. Từ điểm $A$ thuộc $d$ kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với $\left ( C \right )$ tại $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $8$. Tìm tọa độ điểm $A$.
Câu 8.a : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left ( -1;0;1 \right )$, $B\left ( -1;3;2 \right )$, $C\left ( 1;3;1 \right )$. Tìm điểm $D$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $\left ( P \right ) : x+y+z=0$, $\left ( Q \right ) : y-z-1=0$ sao cho thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng $3$.
Câu 9.a : Cho số phức $z$ thỏa mãn $1+\overline{z}=\left | \overline{z}-i \right |^2+\left ( iz-1 \right )^2$. Tính mô đun của $z+\frac{4}{z+1}$.
b) Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $\Delta _1 : x-y+1=0$, $\Delta _2=x+7y+1=0$. Viết phương trình đường tròn $\left ( C \right )$ tiếp xúc với $\delta _1$ tại $M\left ( 1;2 \right )$ và tiếp xúc với $\delta _2$.
Câu 8.b : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left ( P \right ):x-2y-z-5=0$ và các điểm $A\left ( 3;-1;-3 \right )$, $B\left ( 5;1;1\right )$. Tìm điểm $\left ( C \right )$ thuộc $(P)$ sao cho mặt phẳng $\left ( ABC \right )$ vuông góc với $(P)$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{3}$.
Câu 9.b : Tìm số phức $z$ biết $\left | z \right |=\left | 2\overline{z}-\sqrt{3}+i \right |$ và $\frac{\left ( 1+i \right )z}{1-\sqrt{3}+\left ( 1+\sqrt{3} \right )i}$ có một acgumen bằng $-\frac{\pi}{6}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkkk: 07-04-2013 - 11:11
