Cho $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}$?
Tính giá trị biểu thức dựa vào $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0.$
#1
Đã gửi 07-04-2013 - 11:44
#2
Đã gửi 07-04-2013 - 11:57
Cho $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}$?
Ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Leftrightarrow xy+yz+zx=0$
Áp dụng hằng đảng thức $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),$ ta có:
$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2=$
$=(xy+yz+zx)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xy^2z-xyz^2-x^2yz)$
Mà $xy+yz+zx=0$ nên $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2=0 \Leftrightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2$
Ta có:
$\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}=\frac{y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-04-2013 - 11:59
- Tienanh tx và NTTC144 thích
#3
Đã gửi 07-04-2013 - 13:23
Ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Leftrightarrow xy+yz+zx=0$
Áp dụng hằng đảng thức $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),$ ta có:
$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2=$
$=(xy+yz+zx)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xy^2z-xyz^2-x^2yz)$
Mà $xy+yz+zx=0$ nên $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2=0 \Leftrightarrow x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2$
Ta có:
$\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}=\frac{y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3$
Mình lại giải ra bằng 0 nhưng không biết sai chỗ nào. bạn xem giùm mình nhé:
Ta có:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Leftrightarrow xy+yz+zx=0$.
Ta lại có: $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{3}z^{3}+y^{2}z^{3}x^{3}+z^{2}x^{3}y^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}z^{2}(yz+zx+xy)}{x^{2}y^{2}z^{2}}= yz+zx+xy=0$
#4
Đã gửi 07-04-2013 - 13:50
Mình lại giải ra bằng 0 nhưng không biết sai chỗ nào. bạn xem giùm mình nhé:
Ta có:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Leftrightarrow xy+yz+zx=0$.
Ta lại có: $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{3}z^{3}+y^{2}z^{3}x^{3}+z^{2}x^{3}y^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}z^{2}(yz+zx+xy)}{x^{2}y^{2}z^{2}}= yz+zx+xy=0$
Bạn sai ở chỗ biến đổi quy đồng.
Phải là $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$
Issac Newton
#5
Đã gửi 07-04-2013 - 14:03
Bạn sai ở chỗ biến đổi quy đồng.
Phải là $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$
À! Thì ra vậy, ẩu quá. Mà hình như bạn nhầm rồi, chỗ đó phải là mũ 3 chứ nhỉ: $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}=\frac{x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}+x^{3}z^{3}}{x^{2}y^{2}z^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitra1999: 07-04-2013 - 14:05
#6
Đã gửi 09-04-2013 - 11:26
vì$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \Rightarrow xy+yz+zx=0 \Rightarrow xy=-z(x+y);yz=-x(y+z);xz=-y(x+z)$
Khi đó -M=$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=\frac{x^{2}y+xy^{2}+y^{2}z+yz^{2}+x^{2}z+xz^{2}+3xyz-3xyz}{xyz}=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz}{xyz}=-3 \Rightarrow M=3$
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
#7
Đã gửi 12-04-2013 - 20:24
Cho $\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Tính giá trị của biểu thức $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}$?
trời dễ mình có cách khác nè
$\sum \frac{xy}{z^{2}}=xyz.\sum \frac{1}{x^{3}}$áp dụng đẳng thức a+b+c=0$\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\rightarrow \sum \frac{1}{x^{3}}=\frac{3}{yzx}\rightarrow xyz.\sum \frac{1}{x^{3}}=3$
Chuyên Vĩnh Phúc
#8
Đã gửi 13-04-2013 - 16:41
trời dễ mình có cách khác nè
$\sum \frac{xy}{z^{2}}=xyz.\sum \frac{1}{x^{3}}$áp dụng đẳng thức a+b+c=0$\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\rightarrow \sum \frac{1}{x^{3}}=\frac{3}{yzx}\rightarrow xyz.\sum \frac{1}{x^{3}}=3
e mới học lớp 8 a ơi. học tới bất đẳng thức là max rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitra1999: 13-04-2013 - 16:41
#9
Đã gửi 14-04-2013 - 06:06
e mới học lớp 8 a ơi. học tới bất đẳng thức là max rồi.
đâu e làm bình thường c làm sao thế $a+b+c=0\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$là đẳng thức bình thường mà
Chuyên Vĩnh Phúc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh