Chủ đề này có 1 trả lời

[trauvang97]

Cho ba số $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

                           $\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\leq 6\sqrt{3}-10$

[hoangkkk]

Cho ba số $x,y,z>0$ và $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

                           $\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )\leq 6\sqrt{3}-10$

 

Một bất đẳng thức có trong quyển "Old and new inequalities". Mình xin trích dẫn lại lời giải :

 

Từ giải thiết dễ dàng suy ra được rằng có nhiều nhất một trong ba số nhỏ hơnn $1$. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x \geq 1$, $y geq 1$. Như vậy $xy \geq 1$ và từ điều kiện đã cho ta có được : $=\frac{x+y}{xy-1}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$$2xyz-(xy+yz+zx) \leq 6\sqrt{3}-9$$

Thế $z$ vào và biến đổi :

$$(xy-x-y)^2+(6\sqrt{3}-10)xy \leq 6\sqrt{3}-9$$

Bây giờ ta đặt $x+1=a$, $y+1=b$ thì bất đẳng thức trên trở thành :

$$a^2b^2+( 6\sqrt{3}-10)(a+b+ab)-2ab \geq 0$$

Nhưng $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ và $6\sqrt{3}-10 \geq 0$ nên ta chỉ cần chứng minh :

$$a^2b^2+(6\sqrt{3}-10)(ab+2\sqrt{ab})-2ab \geq 0$$

Đặt $\sqrt{ab}=t \geq 0$, viết lai bất đẳng thức trên thành :

$$t^4+(6\sqrt{3}-12)t^2+2(6\sqrt{3}-10)t \geq 0$$

Hay

$$t^3+(6\sqrt{3}-12)t+2(6\sqrt{3}-10) \geq 0$$

$$\Leftrightarrow(t-\sqrt{3}+1)^2(t+2\sqrt{3}-2) \geq 0$$

Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi $t \geq 0$.

Vậy ta có $đpcm$