Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Hãy tính tổng $S=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)(3k+1)}$.

[nthoangcute]

Bài toán: Hãy tính tổng $S=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(2k+1\right)\left(3k+1\right)}$.

 

Cách làm sau hơi loằng hoằng, thông cảm vì chưa được học nhiều, mới chỉ biết sơ sơ như thế này:
 

 

Trước tiên, nói qua về các hàm Psi, Gamma:

$$\Gamma\left(x\right)=\left(x-1\right)!\\\left(\Gamma\left(x\right)\right)'=\dfrac{d}{dx} \Gamma\left(x\right)=\Gamma\left(x\right) \Psi\left(x\right)\\\to \Psi\left(x\right)= \dfrac{\left(\Gamma\left(x\right)\right)'}{\Gamma\left(x\right)}$$

Chắc mọi người hiểu.

Ta sẽ tính tổng quát tổng sau:

$$S=\sum_{k=a}^{b}\dfrac{1}{\left(2k+1\right)\left(3k+1\right)}$$

Nhận thấy rằng:

$$\Psi \left(t+\dfrac{4}{3}\right)-\Psi \left(t+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\dfrac{d}{dt} \Gamma\left(t+\dfrac{4}{3}\right)}{\Gamma\left(t+\dfrac{4}{3}\right)}-\dfrac{\dfrac{d}{dt} \Gamma\left(t+\dfrac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(t+\dfrac{3}{2}\right)}\\=\dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{3t+1}{3}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)\right)}{\dfrac{3t+1}{3}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)}-\dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{2t+1}{2}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\right)}{\dfrac{2t+1}{2}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)}\\=\dfrac{\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{3t+1}{3} \dfrac{d}{dt}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right) }{\dfrac{3t+1}{3}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)}-\dfrac{\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{2t+1}{2} \dfrac{d}{dt}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right) }{\dfrac{2t+1}{2}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)}\\=\dfrac{3}{3t+1}-\dfrac{2}{2t+1}+\dfrac{\dfrac{d}{dt}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)}{\Gamma\left(t+\dfrac{1}{3}\right)}-\dfrac{\dfrac{d}{dt}\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(t+\dfrac{1}{2}\right)}\\=\dfrac{1}{\left(3t+1\right)\left(2t+1\right)}+\Psi\left(t+\dfrac{1}{3}\right)-\Psi\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\\\Rightarrow \dfrac{1}{\left(3t+1\right)\left(2t+1\right)}=\Delta \left [ \Psi\left(t+\dfrac{1}{3}\right)-\Psi\left(t+\dfrac{1}{2}\right)\right ]$$

 

 

Suy ra $$\sum_{k=a}^b\Delta \left [ \Psi\left(k+\dfrac{1}{3}\right)-\Psi\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\right ]=\Psi \left( b+\dfrac{4}{3} \right) -\Psi \left( b+\dfrac{3}{2}\right) -\Psi \left( a+\dfrac{1}{3} \right) +\Psi \left( a+\dfrac{1}{2} \right)\\ \Rightarrow S=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{\left(2k+1\right)\left(3k+1\right)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}$$

 

_______________________________________________________
@dark templar: Anh post cách của anh đi cho mọi người tham khảo ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 13-04-2013 - 18:17

[dark templar]

Spoiler

1 lời giải đẹp lấy từ ML

Ta có:

 

$$\begin{array}{rcl}\frac{S}{2} &=& \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{1}{{(4k + 2)(3n + 1)}}}  + \sum\limits_{k =  - 1}^{ - \infty } {\frac{1}{{(4k + 2)(3k + 1)}}} \\&=& \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{1}{{(4k + 2)(3k + 1)}}}  + \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}{{(4k - 2)(3k - 1)}}} \\&=& \frac{1}{2} + 2\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {\frac{1}{{4k - 2}} - \frac{1}{{4k + 2}}} \right)}  + \frac{3}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {\frac{1}{{3k + 1}} - \frac{1}{{3k - 1}}} \right)} \\&=& \frac{1}{2} + 2\sum\limits_{k = 1}^\infty  ( {a_k} - {a_{k + 1}}) + \frac{3}{2}S'\\&=& \frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{3}{2}S'\\&=& \frac{3}{2}(1 + S')\end{array}$$

 

Bây giờ ta đặt $f(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{x^{3k + 1}}}}{{3k + 1}} - \frac{{{x^{3k - 1}}}}{{3k - 1}}} \right)} $ với $f(1) = S'$ và $f(0)=0$.

 

Vậy thì:

$$f'(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  ( {x^{3k}} - {x^{3k - 2}}) = \frac{{{x^3} - x}}{{1 - {x^3}}} =  - 1 + \frac{{1 - x}}{{1 - {x^3}}} =  - 1 + \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}.$$

 

Hơn nữa,ta có:

 

$$\begin{array}{rcl}S' &=& f(1) - f(0) = \int_0^1 {f'} (x)\,dx\\&=& \int_0^1 {\left( { - 1 + \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}} \right)} \,dx\\&=& \left[ { - x + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left(\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }} \right)} \right]_0^1\\&=&  - 1 + \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}\end{array}$$

 

Từ đó tính được kết quả cuối cùng là :

$$\boxed{\displaystyle S = 3\left( {1 - 1 + \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}} \right) = \frac{\pi }{{\sqrt 3 }}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-04-2013 - 09:25