Chủ đề này có 5 trả lời

[MoonAndSun]

$\left\{\begin{matrix} (x^2+1)x+(y-4)\sqrt{3-y}=0 & \\ 22x^2+9y^2+18\sqrt[3]{4-3x}=76 & \end{matrix}\right.$

 

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé ^^

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 10-04-2013 - 22:10

[levanquy]

PT đầu viết về dạng $f(-x)=f(\sqrt{3-y})$ với $f(t)=t(t^2+1)$ từ đó xác định được $y =3-x^2$ với $x\leq 0$ rồi dùng phương pháp thế 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi levanquy: 10-04-2013 - 10:13

[MoonAndSun]

$\left\{\begin{matrix} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y & \\ x^3+3x-2y+40=0 & \end{matrix}\right.$

[SOYA264]

$\left\{\begin{matrix} 2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y & \\ x^3+3x-2y+40=0 & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\leq 1$

(1)$\Leftrightarrow 2y^{3}+y=2(\sqrt{1-x})^{3}+\sqrt{1-x}$

Với $y< 0$, pt vô nghiệm

Xét hàm số $f(t)=2t^{3}+t$ trên $[0;+\infty )$

$f'(t)=6t^{2}+1 > 0 , \forall t\in (0;+\infty )$ Hàm liên tục,đồng biến  trên $[0;+\infty )$.

Do đó $f(y)=f(\sqrt{1-x})\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$

Thay vào pt(2).ta được:

$x^{3}+3x-2\sqrt{1-x}+40=0$

Xét hàm số: $g(x)=x^{3}+3x-2\sqrt{1-x}+40$ trên $(-\infty ;1)$

$g'(x)=3x^{2}+3+\frac{1}{\sqrt{1-x}} > 0,\forall x\in (-\infty ;1)$. Hàm liên tục,đồng biến trên $(-\infty ;1)$

$g(-3)=0$

Do đó x=-3 là nghiệm duy nhất của pt(2) $\Rightarrow y=2$

Vậy hệ pt đã cho có 1 nghiệm là: (-3;1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 14-04-2013 - 16:23

[MoonAndSun]

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=2012^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^2-2y+2}=2012^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$ &

[SOYA264]

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=2012^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^2-2y+2}=2012^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$ &

TXĐ: R

Đặt u=x-1;v=y-1 Hệ đã cho trở thành

$\left\{\begin{matrix} u+\sqrt{u^{2}+1}=2012^{v} & \\ v+\sqrt{v^{2}+1}=2012^{u} & \end{matrix}\right.$

Xét hàm số:

$f(t)=t+\sqrt{t^{2}+1}$

$f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}=\frac{\sqrt{t^{2}+1}+t}{\sqrt{t^{2}+1}}> \frac{\left | t \right |+t}{\sqrt{t^{2}+1}}\geq 0$

f(t) đồng biến trên R

Nếu u>v $\Rightarrow f(u)> f(v)\Rightarrow 2012^{v}> 2012^{u}\Rightarrow v>u$ (vô lí)

Tương tự $v>u $ cũng dẫn đến vô lí.

Do đó $u=v$ (nếu $u,v$ là nghiệm của hệ pt). Ta có:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{u^{2}+1}+u=2012^{u} & \\ u=v& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2012^{u}.(\sqrt{u^{2}+1}-u)=1 & \\ u=v & \end{matrix}\right.$

Xét hàm số: $g(u)=2012^{u}(\sqrt{u^{2}+1}-u),u\in R$

$g'(u)=2012^{u}.ln2012(\sqrt{u^{2}+1}-u)+2012^{u}(\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}-1)$

          =$2012^{u}(\sqrt{u^{2}+1}-u)(ln2012-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}})> 0,\forall u\in R$

g(u) đồng biến trên R

g(0)=1

Do đó u=0 là nghiệm duy nhất của $2012^{u}(\sqrt{u^{2}+1}-u)=1$

$u=v=0$$\Rightarrow x=y=1$

Vậy $x;y)=(1;1)$ là nghiệm duy nhất của hệ pt đã cho

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 15-04-2013 - 09:59