Đến nội dung

Hình ảnh

Canada National Olympiad 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết

Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho: 

 

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

là đa thức hằng.

 

Câu 2: Dãy số $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{n}$ bao gồm các số $1,2,3,...,n$ theo thứ tự. Tìm $n$ sao cho $n+1$ số :$0,a_{1},a_{1}+a_{2},...,a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ có số dư khác nhau khi chia cho $n+1$

 

Câu 3: Cho $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ có $\angle BCA=90$. Cho $P$ là điểm nằm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA=\angle CAB$ và $Q$ là điểm nằm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB=\angle ABC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AQG$ và $BPG$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên cạnh $AB$

 

Câu 4: Cho $n$ là 1 số nguyên dương, Với các số $j$ nguyên dương và $m$ thực dương, gọi $f_{i}(m)$ và $g_{j} (m)$ là:

 

$f_{j} (m)=min(jm,n)+min(\frac{j}{m},n)$ và $g_{j} (m)=min(\left \lceil jm \right \rceil,n)+min(\left \lceil \frac{j}{m} \right \rceil,n)$

 

Chứng minh rằng:

 

$\sum_{j=1}^{n}f_{j}(m)\leq n^{2}+n\leq \sum_{j=1}^{n}g_{j}(m)$

 

với mọi số thực dương $m$.

 

Câu 5: Cho $O$ là trọng tâm của 1 tam giác nhọn $ABC$. Cho điểm $P$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $\angle BOP=\angle ABC$, và điểm $Q$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $\angle COQ=\angle ACB$. Chứng minh rằng hình chiếu của $BC$ trên đường thẳng $PQ$ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$



#2
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Câu 1: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực sao cho: 

 

$(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$

 

là đa thức hằng.

 

Bài làm:

Đặt $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k (*)$

*) Với $x=1 \Rightarrow P(0)=k$

*) Với $x=-1 \to P(-1)=k$

Nên $P(x)-k$ có 2 nghiệm $0;-1$

$\to P(x)=x(x+1)Q(x)+k$

 

Thay vào $(*)$ ta có: 

$(x+1)[(x-1)xQ(x-1)+k]-(x-1)[x(x+1)Q(x)+k]=k$

$\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)[Q(x+1)-Q(x)]=k$

Nên $Q(x+1) \equiv Q(x)$

$\to Q(x) =c$ là hằng số

Vậy $P(x)=cx(x+1)+k$ với c;k là hằng số. $\blacksquare$


 


Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Câu 3: Cho $G$ là trọng tâm của tam giác vuông $ABC$ có $\angle BCA=90$. Cho $P$ là điểm nằm trên tia $AG$ sao cho $\angle CPA=\angle CAB$ và $Q$ là điểm nằm trên tia $BG$ sao cho $\angle CQB=\angle ABC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $AQG$ và $BPG$ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên cạnh $AB$

 

 

 

 

 

 

 


 

Giải như sau

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$N$ là hình chiếu của $C$ xuống $AB$

Từ đề bài ta có $ \angle CPA=\angle CAB=\angle ACM\equiv\angle ACG $

Nên $AC$ là tiếp tuyến $(CPG)$

$ \Longrightarrow $ $AC^2=AG.AP$

Lại có $AC^2=AN.AB$

Nên $AG.AP=AB.AN$ hay $B,P,G,N$ đông viên

tương tự $A,G,N,Q$ đồng viên 

hay $(BPG)$ cắt $(AGQ)$ tại $1$ điểm trên $AB$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi barcavodich: 01-05-2013 - 10:18

[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh