Chủ đề này có 5 trả lời

[longqnh]

Giải phương trình

$8^x+9^\frac{1}{x}=17$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 11-04-2013 - 01:00

[25 minutes]

Giải phương trình

$8^x+9^\frac{1}{x}=17$

Không biết em đạo hàm có đúng không nữa, nhưng cách làm bài này là như thế

Xét $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17$

   $\Rightarrow f'(x)=8^x.\ln8-\frac{1}{x^2}.9^{\frac{1}{x}}. \ln9$

Suy ra $f'(x)$ đơn điệu tăng

Vậy phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất

Nhận thấy $f(1)=17$, suy ra $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 

[longqnh]

Không biết em đạo hàm có đúng không nữa, nhưng cách làm bài này là như thế

Xét $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17$

   $\Rightarrow f'(x)=8^x.\ln8-\frac{1}{x^2}.9^{\frac{1}{x}}. \ln9$

Suy ra $f'(x)$ đơn điệu tăng

Vậy phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất

Nhận thấy $f(1)=17$, suy ra $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 

 

Hàm số này bị gián đoạn tại $x=0$ nên hàm ko liên tục do đó ko thể dùng đạo hàm trong trường hợp này. Mặt khác vì bài này ko chỉ có nghiệm $x=1$ mà vẫn còn 1 nghiệm nữa đó là $x=log_{8}9$.

[Ispectorgadget]

Giải phương trình

$8^x+9^\frac{1}{x}=17$

Điều kiện: $x\neq 0$

Nhận thấy $x=1; x=\log_8 9$ là nghiệm của phương trình.

 

 

$f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17$

 

Nếu $x<0$ thì $VT f(x)<0$ do đó $x>0$

 

Đặt $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17$ với $x>0$

 

$f'(x)=8^x\ln 8 -\frac{1}{x^2}9^{\frac{1}{x}} \ln 9 \forall x>0$

 

$f''(x)= \frac{1}{x^4}.9^{\frac{1}{x}} \ln^2 9+\frac{2}{x^3}.9^{\frac{1}{x}}\ln 9 +8^x\ln^2 8 >0 \forall x>0$

 

Mà $f'(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ nên $f'(x)$ có tối đa 1 nghiệm trên $(0;+\infty)$

 

Do đó $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ do đó $f(x)$ có tối đa 2 nghiệm trên $(0;+\infty)$

 

 

Xét $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17\; (t>0)$

 

Vậy phương trình có 2 nghiệm  $x=1; x=\log_8 9$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-04-2013 - 22:33

[longqnh]

Điều kiện: $x\neq 0$

Nhận thấy $x=1; x=\log_8 9$ là nghiệm của phương trình.

 

 

Nếu $x<0$ thì $VT<0$ do đó $x>0$

 

Đặt $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17$ với $x>0$

 

$f'(x)=8^x\ln 8 -\frac{1}{x^2}9^{\frac{1}{x}} \ln 9 \forall x>0$

 

$f''(x)= \frac{1}{x^4}.9^{\frac{1}{x}} \ln^2 9+\frac{2}{x^3}.9^{\frac{1}{x}}\ln 9 +8^x\ln^2 8 >0 \forall x>0$

 

Mà $f'(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ nên $f'(x)$ có tối đa 1 nghiệm trên $(0;+\infty)$

 

Do đó $f(x)$ liên tục trên $(0;+\infty)$ do đó $f(x)$ có tối đa 2 nghiệm trên $(0;+\infty)$

 

 

Xét $f(x)=8^x+9^{\frac{1}{x}}-17\; (t>0)$

 

Vậy phương trình có 2 nghiệm  $x=1; x=\log_8 9$.

 

Nếu ko có comment của anh thì thủ thuật nào giúp chú mò được nghiệm $x=log_8 9$
 

[Ispectorgadget]

Nếu ko có comment của anh thì thủ thuật nào giúp chú mò được nghiệm $x=log_8 9$
 

:3 Em mò được nghiệm trước khi anh comment luôn rồi (cần thì check tin nhắn điện thoại :3)

 

Mấy bài dạng kiểu này thì nó thường có nghiệm $\log_{\text{số bé}} \text{số lớn}$

 

Bài tương tự: Giải phương trình $3^x+4^{\frac{1}{x}}=7$

 

Nghiệm cũng ra như bài trên  $\log_34;1$

 

Còn nếu đề là $9^t +8^{\frac{1}{t}} =17$

 

Thì nó sẽ có nghiệm là $t=1;t= \log_{\sqrt{9}}.\sqrt{8}=\log_3 2\sqrt{2}$

 

Tuy nhiên cách này là cách làm mẹo khi tìm nghiệm những phương trình kiểu này thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 13-04-2013 - 22:14