Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum^{n}_{i=1}\sin \alpha_i\geq 1$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán :

Ch0 $\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_{n}\in [0,\pi]$ thỏa mãn :

$$\left(n+\sum^{n}_{i=1}\cos \alpha_i\right)\,\,\text{là số nguyên lẻ}$$

Chứng minh rằng :

$$\sum^{n}_{i=1}\sin \alpha_i\geq 1$$

 

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài toán :

Ch0 $\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_{n}\in [0,\pi]$ thỏa mãn :

$$\left(n+\sum^{n}_{i=1}\cos \alpha_i\right)\,\,\text{là số nguyên lẻ}$$

Chứng minh rằng :

$$\sum^{n}_{i=1}\sin \alpha_i\geq 1$$

Với mỗi số thực $x$, kí hiệu $e(x)$ là khoảng cách từ $x$ đến số chẵn gần $x$ nhất (ví dụ $e(1,2)=0,8$ và $e(0,9)=0,9$). Ta có hai nhận xét sau:

  • $\sin x\ge e(1+\cos x)$ với mọi $x\in [0,\pi]$.
  • $e(x)+e(y)\ge e(x+y)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Áp dụng hai nhận xét trên thì ta có

\[\sum^{n}_{i=1}\sin \alpha_i\ge \sum_{i=1}^ne(1+\cos \alpha_i)\ge e\left(\sum_{i=1}^n(1+\cos \alpha_i) \right )=1.\]


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh