Chủ đề này có 2 trả lời

[NLT]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Gọi $H$ là trực tâm $\Delta MNP$. Chứng minh rằng $O,I,H$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 14-04-2013 - 10:11

[nguyenthehoan]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $M,N,P$. Gọi $H$ là trực tâm $\Delta MNP$. Chứng minh rằng $O,I,H$ thẳng hàng.

Đây là bổ đề rất quen thuộc về đường tròn nội tiếp.

 

Chứng minh:Gọi $D,E,F$ thứ tự là tâm bàng tiếp góc $A,B,C$ của $\Delta ABC$

 

Ta có ngay $I$ là trực tâm $\Delta DEF$. Và $A,B,C$ là chân các đường cao của $\Delta DEF$.

 

Mà $O$ là tâm ngoại tiếp $\Delta ABC$ nên $O$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta DEF$

 

Mặt khác $I$ là trực tâm $\Delta DEF$ nên $OI$ chính là đường thẳng Euler của $Delta DEF$

 

Lai có $\Delta DEF$ và$\Delta MNP$ có các cánh tương ứng song song nên đường thẳng Euler của chúng song song với nhau.

 

Hay $OI//IH$.

 

Suy ra $O,I,H$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 14-04-2013 - 12:03

[thanhdotk14]

Đây là bổ đề rất quen thuộc về đường tròn nội tiếp.

 

Chứng minh:Gọi $D,E,F$ thứ tự là tâm bàng tiếp góc $A,B,C$ của $\Delta ABC$

 

Ta có ngay $I$ là trực tâm $\Delta DEF$. Và $A,B,C$ là chân các đường cao của $\Delta DEF$.

 

Mà $O$ là tâm ngoại tiếp $\Delta ABC$ nên $O$ là tâm đường tròn Euler của $\Delta DEF$

 

Mặt khác $I$ là trực tâm $\Delta DEF$ nên $OI$ chính là đường thẳng Euler của $Delta DEF$

 

Lai có $\Delta DEF$ và$\Delta MNP$ có các cánh tương ứng song song nên đường thẳng Euler của chúng song song với nhau.

 

Hay $OI//IH$.

 

Suy ra $O,I,H$ thẳng hàng.

Cách khác:

Kẻ $MK\perp NP, PL\perp MN$

Gọi $D,E$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng qua $I$ vuông góc với $MK,PL$ với $BC,AB$

Xét cực và đối cực với $(I)$

Ta có:

Đường đối cực của $D$ với $(I)$ phải đi qua $M$ và vuông góc với $ID$ 

$\Rightarrow MK$ là đường đồi cực của $D$

Mà $H\in MK$ nên đường đối cực của $H$ đi qua $D$

Tương tự ta cũng có đường đối cực của $H$ đi qua $E$

$\Rightarrow$ Đường đối cực của $H$ chính là $DE$

$\Rightarrow IH\perp DE(1)$

Mặt khác:

Ta có:

$\widehat{AIB}=90^{\circ}+\frac{C}{2}$

$\Rightarrow \widehat{DIB}=\frac{C}{2}$

$\Rightarrow DI^2=DB.DC$

$\Rightarrow D$ thuộc trục đẳng phương của $(O)$ với đường tròn điểm $(I)$

Tương tự ta cũng có $E$ thuộc trục đẳng phương của $(O)$ với đường tròn điểm $(I)$

$\Rightarrow OI\perp DE(2)$ 

Từ $(1),(2)$ ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 19-04-2013 - 15:12