Chủ đề này có 3 trả lời

[namcpnh]

Cho dãy số thực ($x_n$) được xác định bởi : $ln(1+x_n^2)+x_n.n=1, \forall n\geq 1$.

Tìm $lim\frac{n(1-x_n.n)}{x_n}$

[dark templar]

Cho dãy số thực ($x_n$) được xác định bởi : $ln(1+x_n^2)+x_n.n=1, \forall n\geq 1$.

Tìm $lim\frac{n(1-x_n.n)}{x_n}$

Dãy số xác định không có $x_{n+1}$ ?

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

$f_n(x)=\ln (1+x^2)+nx-1$ 

$f_n(x)'=\frac{2x}{1+x^2}+n \geq 0 $ 

Suy ra $f_n(x)$ đồng biến . 

Suy ra $f_n(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm .

Mà $f_n(0)=-1<0 , f_n(\frac{1}{n})=\ln (1+\frac{1}{n^2}) > \ln 1 =0$ , $f_n(x)$ liên tục .

Vậy $f_n(x)$ có nghiệm duy nhất $x_n \in (0 ; \frac{1}{n})$

Mặt khác $\lim \frac{1}{n} = 0$ 

Suy ra $\lim x_n = 0 $

Ta có : 

$\frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\frac{nx_n(1-nx_n)}{x_n^2}=\frac{[1-\ln (1+x_n^2)]\ln (1+x_n^2)}{x_n^2}$

Suy ra $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n}=\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)-\ln ^2(1+t)}{t}$

Mà $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t}= \lim_{t \to 0} \frac{1-2\ln (1+t)}{1+t} =1 $ ( Định nghĩa đạo hàm )

Vậy $\lim \frac{n(1-nx_n)}{x_n} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln (1+t) -\ln ^2(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1+t) - \ln ^2(1+t)}{t} =1 $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 15-04-2013 - 20:17

[namcpnh]

Dãy số xác định không có $x_{n+1}$ ?

 

Cái này là dãy số xác định bởi PT mà anh .