Chủ đề này có 2 trả lời

[votanphu]

cho phương trình $2x^{2}+(2m-1)x+m-1=0$

tìm một hệ thức giữ $x_{1}$,$x_{2}$ không phụ thuộc vào m

[dangviethung]

cho phương trình $2x^{2}+(2m-1)x+m-1=0$

tìm một hệ thức giữ $x_{1}$,$x_{2}$ không phụ thuộc vào m

Ta có

$\Delta =\left ( 2m-1 \right )^{2}-4.2.\left ( m-1 \right )=4m^{2}-12m+9=\left ( 2m-3 \right )^{2}\geq 0$ với mọi m

Vậy PT trên luôn có hai nghiệm với mọi m

 

Áp dụng định lí Vi - et cho phương trình trên, ta được

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{1-2m}{2}=\frac{1}{2}-m & & \\ x_{1}x_{2}=\frac{m-1}{2}=\frac{m}{2}-\frac{1}{2} \Rightarrow x_{1}x_{2}+\frac{m}{2}=m-\frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$

 

Suy ra

$\left ( \frac{1}{2}-m \right )=-\left ( m-\frac{1}{2} \right )$

hay $x_{1}+x_{2}=-\left ( x_{1}x_{2}+\frac{m}{2} \right ) \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+\frac{m}{2}=0 \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}+\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x_{1}+x_{2}+2x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}$

 

Đây là hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

[nguyenvinhthanh]

Xét $\Delta =(2m-1)^2-4.2(m-1)=(2m-3)^2\geq 0 \forall m$ $\Rightarrow$ Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

Theo đ/lý Viete, ta có:

$\left\{\begin{matrix} S=x_1+x_2=\frac{-2m+1}{2}\\ P=x_1x_2=\frac{m-1}{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2S+4P=\frac{-4m+2}{2}+\frac{4m-4}{2}=-1$

$\Rightarrow 2(x_1+x_2)+4x_1x_2=-1$