Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Tính tổng cùng phần nguyên phần lẻ Món khoái khẩu của thầy Thanh

Bài toán :

Ch0 $(m;n)=1$ với $m$ chẵn, tính tổng :

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2n}+\sum^{n-1}_{k=1}(-1)^{\left[\frac{km}{n}\right]}.\left\{\frac{km}{n}\right\}$$

Ở đây các kí hiệu $[a]$ và $\{a\}$ lần lượt là phần nguyên và phần lẻ của số thực $a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-04-2013 - 12:23

[hxthanh]

Tính tổng cùng phần nguyên phần lẻ Món khoái khẩu của thầy Thanh

Bài toán :

Ch0 $(m;n)=1$ với $m$ chẵn, tính tổng :

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2n}+\sum^{n-1}_{k=1}(-1)^{\left[\frac{km}{n}\right]}.\left\{\frac{km}{n}\right\}$$

Ở đây các kí hiệu $[a]$ và $\{a\}$ lần lượt là phần nguyên và phần lẻ của số thực $a$.

Spoiler

Bài này hay!

 

Ở đây ta có $m$ chẵn và $n$ lẻ

Do $\text{gcd}(m,n)=1$ nên khi $k$ chạy từ $1$ đến $(n-1)$ thì phân số $\dfrac{km}{n}$ không là số nguyên. Vậy nên:

Các giá trị của $\left\{\dfrac{km}{n}\right\}$ nhận đủ $(n-1)$ giá trị $\left\{\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n}, ... ,\dfrac{n-1}{n}\right\}\quad(*)$

Ta có:

$S=\dfrac{1}{2n}+\sum_{\substack{1\le k\le n-1\\ \left\lfloor\frac{km}{n}\right\rfloor=2t}}\left\{\dfrac{km}{n}\right\}-\sum_{\substack{1\le k\le n-1\\ \left\lfloor\frac{km}{n}\right\rfloor=2t-1}}\left\{\dfrac{km}{n}\right\}$

 

Lưu ý rằng nếu $\left\lfloor\frac{km}{n}\right\rfloor=2t$ thì $\left\{\dfrac{km}{n}\right\}=\dfrac{km}{n}-2t=\dfrac{km-2nt}{n}$ có phần "tử số" là số chẵn.

Xét riêng phần "tử số" trong tập các phần lẻ $(*)$

rõ ràng có $\dfrac{n-1}{2}$ số chẵn và từng đấy số lẻ.

Mỗi phần lẻ có tử số chẵn lại hơn $\dfrac{1}{n}$ so với phần lẻ có tử số lẻ liền trước nó.

Từ đó suy ra

 

$\sum_{\substack{1\le k\le n-1\\ \left\lfloor\frac{km}{n}\right\rfloor=2t}}\left\{\dfrac{km}{n}\right\}-\sum_{\substack{1\le k\le n-1\\ \left\lfloor\frac{km}{n}\right\rfloor=2t-1}}\left\{\dfrac{km}{n}\right\}=\dfrac{n-1}{2}\cdot\dfrac{1}{n}$

 

Do đó $S=\dfrac{1}{2n}+\dfrac{n-1}{2n}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$