Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max của $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Bài 1 :Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm max của

$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$.

Bài 2  Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=3$.Chứng minh

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{3}{2}$.

 

 

 



#2
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Bài 1 :Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$.Tìm max của
$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$.


Gợi ý : Đặt $(x;y;z)=(\tan \dfrac{A}{2};\tan \dfrac{B}{2};\tan \dfrac{C}{2})$

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Vì ab + bc+ ca = 1 nên ta có: $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+a)(b+c)}=\frac{a(b+c)+b(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{ab+1}{(a^2+1)(b+c)}\leqslant \frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{(a^2+1)(b+c)} =\frac{\sqrt{b^2+1}}{(b+c)\sqrt{a^2+1}}=\frac{\sqrt{(b+a)(b+c)}}{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}=\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}$

 

Đến đây, ta cần chứng minh: $\frac{3c+1}{\sqrt{c^2+1}}\leqslant \sqrt{10} \Leftrightarrow (c-3)^2\geqslant 0$ *đúng*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\sqrt{10}-3;c=3$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh