Đến nội dung


Hình ảnh

ĐỀ THI DUYÊN HẢI ĐỒNG BĂNG BẮC BỘ Lớp 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 20-04-2013 - 19:14

Câu 1: Giải phương trình :
$$ 3x^2-10x+6+ (x+2).\sqrt{2-x^2}=0$$
Câu 2: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+2z^2+2xyz$.
 
Câu 3: Trên mặt phẳng cho 2 điểm $A$, $B$ nằm trên đường trong $(O)$, hai đường tiếp tuyến tại $A$, $B$ cắt nhau tai $P$. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$ không là điểm chính giữa cung $AB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $AP$ tại $E$. Chứng mình rằng tâm 3 đường tròn $(ACE),(BCD),(PCO)$ thẳng hàng.
 
Câu 4: Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ tùy ý. Chứng minh rằng $$\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k} \cdot \binom{p+k}{k} - (2^p+1)$$ chia hết cho $p^2$.
 
Câu 5:Cho bảng ô vuông $13 \times 13$. Hỏi có thể điền được hay không $169$ số nguyên dương đầu tiên vào các ô vuông con của bảng sao cho:
[LIST=1]
[*]Hai số nguyên dương liên tiếp được điền vào hai ô kề nhau (hai ô kề nhau là hai ô có chung một cạnh).
[*]Tất cả các số chính phương được điền vào một cột.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#2 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 20-04-2013 - 19:44

 

Câu 1: Giải phương trình :
$$ 3x^2-10x+6+ (x+2).\sqrt{2-x^2}=0$$

 

$ 3x^2-10x+6+ (x+2).\sqrt{2-x^2}=0$

$\Leftrightarrow (4-x-\sqrt{2-x^2})(\sqrt{2-x^2}-2x+2)=0\Leftrightarrow ...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 20-04-2013 - 19:45

Link

 


#3 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-04-2013 - 19:45

Câu 4 có trong chuyên đề Đẳng thức tổ hợp của diễn đàn (trang 134):

ĐTTH.png

Spoiler


Thích ngủ.


#4 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 20-04-2013 - 20:15

Câu 2:

 

Đễ dàng nhận thấy P đạt $GTNN$ khi $z$ nhỏ nhất.

 

Đặt $P(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+2z^{2}+2xyz$

 

Ta sẽ cm $P(x,y,z)\geq P(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2},z)$

 

$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq z(x-y)^{2}$

 

Hiển nhiên đúng vì $z\leq 1$

 

Vậy công việc của ta là tìm cm $P(z)\geq \frac{9}{2}$  với $z\geq 0$

 

Khai triển ta được điều hiển nhiên đúng...



#5 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 20-04-2013 - 23:00

 

 
Câu 3: Trên mặt phẳng cho 2 điểm $A$, $B$ nằm trên đường trong $(O)$, hai đường tiếp tuyến tại $A$, $B$ cắt nhau tai $P$. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$ không là điểm chính giữa cung $AB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $AP$ tại $E$. Chứng mình rằng tâm 3 đường tròn $(ACE),(BCD),(PCO)$ thẳng hàng.

 

 

 

Câu 3: Gọi $F,I,G$ là tâm của đường tròn $(ACE),(AOB),(POB)$
Khi đó $$\widehat{ECA}=\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\widehat{AOP}=\widehat{PAB}\\\Rightarrow EF//PO\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{PAJ}\Rightarrow \overline{A,F,I}$$
Từ đó ta gọi $(AEC)$ cắt $(CBD)$ tại $K$ khác C
$CK$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(ACE)$ tại $H$
Khi đó $HC.HK=HA^2=HB^2$
Suy ra $H$ thuộc trung trực $AB$
Suy ra $H,O,P$ thẳng hàng
Suy ra $HC.HK=HA^2=HP.HO$
Suy ra $K$ thuộc $(COP)$
Suy ra tâm 3 đường tròn $(ACE),(BCD),(PCO)$ cùng thuộc đường trung trực $CK$
Suy ra OK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 21-04-2013 - 09:14

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-04-2013 - 19:42

Hehe vừa về Thái Bình, đoàn 2 bạc 1 vàng, tiếc quá 0,5 nữa là vàng r`, chỉ tại viết nhầm số 3 thành 2, trừ mất 0,5 @@~

Bài 2 : WLOG, giả sử $x\geq y$

$\bullet$ Nếu $z\geq 1$ suy ra $2xyz\geq 2xy$ suy ra $P\geq (x+y)^2+2z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}+z^2\geq \frac{11}{2}$

 

$\bullet$ Nếu $z\leq 1$ suy ra $2x\geq x+y\geq 2$ vậy nên $2xyz\geq 2yz$, ta có :

$$P\geq x^2+(y+z)^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}+z^2\geq \frac{9}{2}$$ ( Do $z^2\geq 0$ )

Vậy $\text{min P}=\frac{9}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{3}{2},z=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-04-2013 - 19:43

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#7 whatever2507

whatever2507

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Combinatorics :D

Đã gửi 23-04-2013 - 19:18

Hehe vừa về Thái Bình, đoàn 2 bạc 1 vàng, tiếc quá 0,5 nữa là vàng r`, chỉ tại viết nhầm số 3 thành 2, trừ mất 0,5 @@~

Bài 2 : WLOG, giả sử $x\geq y$

$\bullet$ Nếu $z\geq 1$ suy ra $2xyz\geq 2xy$ suy ra $P\geq (x+y)^2+2z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}+z^2\geq \frac{11}{2}$

 

$\bullet$ Nếu $z\leq 1$ suy ra $2x\geq x+y\geq 2$ vậy nên $2xyz\geq 2yz$, ta có :

$$P\geq x^2+(y+z)^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}+z^2\geq \frac{9}{2}$$ ( Do $z^2\geq 0$ )

Vậy $\text{min P}=\frac{9}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{3}{2},z=0$

Mình thiếu 0.25 nữa thì được vàng nè :)).

Bài tổ hợp chưa làm bao giờ nhưng không ngờ hôm thi mình giải đúng như đáp án, sướng phết :):

Giả sử tồn tại cách viết số thoả mãn, giả sử các SCP được viết ở cột i.

Từ điều kiện 1 ta thấy tồn tại một đường đi qua các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 169. Mỗi lần đi từ ô $a^2$ đến ô $(a+1)^2$ thì đường đi phải đi qua $2a$ ô không kể 2 ô này và đường đi này đi qua hết các ô trên bảng.

Gọi phần bên trái cột i là phần A, phần bên phải cột i là phần B, dễ thấy tổng số ô mỗi phần này chia hết cho 13 (Có thể bằng 0).

Không mất tổng quát giả sử tư ô số 1 đường đi đi sang phần A, nó cần phải đi $2.1=2$ ô để sang ô 4, 2 ô này nằm hoàn toàn bên phần A vì đường đi không đi qua cột i trước khi gặp ô số 4, rồi sau đó nó đi sang phần B. Lý luân tương tự ta có với $c=\bar{0,5}$ thì từ ô $(2c+1)^2$ đến ô $(2c+2)^2$ đường đi đi qua $2(2c+1)$ ô ở phần A rồi qua cột i sang phần B, còn từ ô $(2c+2)^2$ đến ô $(2c+3)^2$ nó đi $2(2c+2)$ ô ở phần B rồi qua cột i rồi sang phần A.

Do đường đi đi qua hết các ô trên bản nên tổng số ô ở phần A là: $\sum_{c=0}^{5}2(2c+1)=72$ không chia hết cho 13 nên mâu thuẫn. Vậy không tồn tại cách điền số thoả mãn :).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whatever2507: 23-04-2013 - 19:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh