Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$. Chứng minh BĐT

$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}}\ge 6$$

[nthoangcute]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$. Chứng minh BĐT

$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}}\ge 6$$

 

Hướng dẫn:
Ta có BĐT sau:
$$\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{1}{a} \geq 3$$
Cái này chứng minh dễ rồi

Từ đó ta được đpcm

[Zaraki]

Cho em hỏi là ý tưởng nào khiến anh nghĩ tới bất đẳng thức như vậy ??

[KietLW9]

Cho em hỏi là ý tưởng nào khiến anh nghĩ tới bất đẳng thức như vậy ??

Ý tưởng. Nhìn vào bất đẳng thức này thấy ba biến $a,b,c$ độc lập nhau nên ta nghĩ ngay đến phương pháp hệ số bất định $\text{UCT}$

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$

Nhìn vào giả thiết thì ta phải thiết lập một bất đẳng thức có dạng: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}\geqslant \frac{m}{a}+n(1)$ (với m là một hệ số âm, nếu m ra một hệ số dương thì coi nhưng không thành công)

Tương tự với hai biến $b,c$ rồi cộng lại, ta được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{b^2+1}{\sqrt{b^2-b+1}}+\frac{c^2+1}{\sqrt{c^2-c+1}} \geqslant m(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3n\geqslant 3(m+n)=6\Rightarrow n=2-m$

Thay $n=2-m$ vào $(1)$, ta được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}\geqslant \frac{m}{a}+2-m$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}-2\geqslant m(\frac{1}{a}-1)$

$\Leftrightarrow \frac{a(\frac{1}{a}-1)(a-3-a^2-a^3)}{(a^2-a+1)(\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+2)}\geqslant m(\frac{1}{a}-1)$ (Cái này chắc dễ biến đổi)

$\Leftrightarrow m\leqslant  \frac{a(a-3-a^2-a^3)}{(a^2-a+1)(\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+2)}$

Đồng nhất $a=1$ vào ta được $m=-1\Rightarrow n=3$ (thỏa mãn)

Vậy ta được bất đẳng thức phụ: $\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2-a+1}}+\frac{1}{a} \geq 3$