Chủ đề này có 2 trả lời

[NTHMyDream]

bài 1:chứng minh với$\forall x\in R$có bất đẳng thức: 

$8sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+ cos^{2}2x$$\leq 8$

 

bài 2 cho tam giác ABC không tù chứng minh $\frac{1-sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}\geq \sqrt{2}-1$

 

bài 3: cho tam giác ABC không tù chưng minh

 

a>sinA.sinB+ sinB.sinC+ sinC.sinA > cosA+cosB+cosC

b> $1< \frac{sinA + sinB + sinC}{cosA + cosB + cosC}< 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTHMyDream: 22-04-2013 - 19:43

[25 minutes]

 

b> $1< \frac{sinA + sinB + sinC}{cosA + cosB + cosC}< 2$

Tìm Min :

Đặt $H_A=\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}$
Do vai trò của $A,B,C$ là như nhau nên ta có thể giả sử $A=max \left ( A,B,C \right )\Rightarrow A\in \left [ \frac{\Pi }{3},\frac{\Pi }{2} \right ]$ (1)
Ta sẽ chứng minh $H_A \geq \frac{\sin A+2\cos \frac{A}{2}}{\cos A+2\sin\frac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow 2\cos \frac{B-C}{2}(\cos A\cos\frac{A}{2}-\sin A\sin\frac{A}{2})+2(\sin A\sin \frac{A}{2}-\cos A\cos \frac{A}{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow 2\cos \frac{B-C}{2}\cos \frac{3A}{2}-2\cos \frac{3A}{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \cos \frac{3A}{2}(\cos \frac{B-C}{2}-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos \frac{3A}{2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{\Pi }{2}\geq A\geq \frac{\Pi }{3}$ ( luôn đúng do giả sử )
Vậy ta thu được $H_A \geq \frac{\sin A+2\cos \frac{A}{2}}{\cos A+2\sin \frac{A}{2}}$ với điều kiện (1)
Đặt $f(A)=\frac{\sin A+ 2 \cos \frac{A}{2}}{\cos A +2 \sin \frac{A}{2}}$ với $(\frac{\pi}{3} \leq A\leq \frac{\pi}{2})$

     $\Rightarrow f'(A)=\frac{\sin \frac{3A}{2}-1}{(\cos A+ 2 \sin \frac{A}{2})^2}\leq 0$

     $\Rightarrow f(A) \geq f(\frac{\pi}{2})=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$

Do đó ta có $\frac{\sin A + \sin B +\sin C}{\cos A + \cos B +\cos C}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}} >1$

Tìm Max : 

BĐT đã cho tương đương với $ \sin A + \sin B + \sin C <2( \cos A +\cos B + \cos C)$

Sử dụng CT sau : $\sum \sin A =4\prod \cos \frac{A}{2}$

                             $2\sum \cos A=2( \sum 2 \cos ^2 \frac{A}{2}-3)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $4\prod \cos \frac{A}{2}<2(\sum \cos^2 \frac{A}{2}-3)$

 Chuyển $(\cos \frac{A}{2},...)\rightarrow (a,b,c)$ ta cần chứng minh 

                            $abc < a^2+b^2+c^2-\frac{3}{2}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-abc-\frac{3}{2}> 0$

Sử dụng AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2  \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$ nên đặt $t=\sqrt[3]{abc}, (0<t <\frac{\sqrt{3}}{2})$

Ta cần chứng minh $t^3-3t^2+\frac{3}{2}<0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $0 <t <\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó ta có đpcm

[25 minutes]

 

 

bài 2 cho tam giác ABC không tù chứng minh $\frac{1-sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}\geq \sqrt{2}-1$

 

 

Do tam giác không tù nên $A \leq \frac{\pi}{2}$

Đặt $\sin \frac{A}{2}=a\Rightarrow a \in (0;\sin \frac{\pi}{2})=(0;\frac{\sqrt{2}}{2})$   (1)

BĐT đã cho trở thành $1-a \geq (\sqrt{2}-1)\sqrt{1-a^2}$

                                  $\Leftrightarrow a^2+2a-1 \leq (3-2\sqrt{2})(1-a^2)$

                                 $\Leftrightarrow (4-2\sqrt{2})a^2-2a+(2\sqrt{2}-2)\geq 0$

                                  $\Leftrightarrow (a-1)(a-\frac{\sqrt{2}}{2})\geq 0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do (1)

Vậy ta có đpcm

Bài 1: tương tự