Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 23-04-2013 - 11:08

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 23-04-2013 - 17:30


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-04-2013 - 17:50

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Quy đồng mẫu số, bđt đã cho tương đương với  

                $\frac{\sum \left [ 4+bc-2(b+c) \right ]}{(2-a)(2-b)(2-c)}\geq 3$

         $\Leftrightarrow \frac{12+(ab+bc+ac)-4(a+b+c)}{8-abc-4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)}\geq 3$

         $\Leftrightarrow 12-3abc-8(a+b+c)+5(ab+bc+ac)\leq 0$

Đặt theo ngôn ngữ $p,q,r$ ta có $p^2-2q=3\Rightarrow q=\frac{p^2-3}{2}$

Thay vào bđt trên ta có $\Leftrightarrow 12-3r-8p+\frac{5(p^2-3)}{2}\leq 0$

                                      $\Leftrightarrow \frac{9}{2}-3r-8p+\frac{5p^2}{2}\leq 0$

                                      $3r+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2} \geq 0$

Áp dụng bđt Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4p.\frac{p^2-3}{2}-p^3}{9}=\frac{p^3-6p}{9}$

                                $\Rightarrow 3r\geq \frac{p^3-6p}{3}$

Do đó ta cần chứng minh $ \frac{p^3-6p}{3}+8p-\frac{5p^2}{2}-\frac{9}{2}\geq 0$

                                 $\Leftrightarrow (2p-3)(p-3)^2 \geq 0$

Nhưng bđt trên luôn đúng do $p^2=(a+b+c)^2>a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}> \frac{3}{2}$

Do đó ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 23-04-2013 - 18:07

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

 

 

Ta có: $$\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$$ với mọi $0<a<2$
Suy ra ok


BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 23-04-2013 - 20:13

Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Cách 1:

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{1}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^4-a^6}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^4-\sum a^6}=\frac{3(\sum a^2)}{2\sum a^4 -\sum a^6}$

AM-GM

$\sum a^6+\sum a^2 \ge 2\sum a^4$

Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$

Cách 2:

BĐT tương đương

$\sum \frac{a}{2-a}\ge 3$

Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a}{2-a}=\sum \frac{a^4}{2a^3-a^4}\ge \frac{3\sum a^2}{2\sum a^3 -\sum a^4}$

AM-GM:

$\sum a^4+\sum a^2 \ge 2\sum a^3$

Dấu đẳng thức khi $a=b=c=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh