Chủ đề này có 3 trả lời

[snowangel1103]

cho tam giác ABC có $2a^2=b^2+c^2$. chứng minh: 2cotA=cotB+cotC

[banhgaongonngon]

cho tam giác ABC có $2a^2=b^2+c^2$. chứng minh: 2cotA=cotB+cotC

 

Theo định lí $\cot$ ta có

$2\cot A =\cot B + \cot C $

$\Leftrightarrow \frac{2(b^{2}+c^{2}-a^{2})}{4S}=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{4S}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4S} $

$\Leftrightarrow 2a^{2}=b^{2}+c^{2}$

[tranphuonganh97]

đơn giản thôi mà.
ta chứng minh công thức sau: cotA = (b²+c²-a²)/4S. 

Hiển nhiên có : cos A = (b²+c²-a²)/2bc (hệ quả định lý cosin) và sin A = 2S/bc (do có S = 1/2 . b.c.sin A). thay 2 cái này vào cot A = cos A/sin A thì được điều cần chứng mình. 

Tương tự với góc B và C

do đó 2cotA=cotB+cotC <=> (b²+c²-a²)/2S. = (a²+c²-b²)/4S + (b²+a²-c²)/4S. 

<=> b²+c²-a^{2 =} a²  

Luôn đúng theo giả thiết

[banhgaongonngon]

Cách khác:

 

$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})=0$

$\Leftrightarrow a^{2}-2bc \cos A =0$

$\Leftrightarrow 2\cos A = \frac{a^{2}}{bc}=\frac{\sin^{2}A}{\sin B \sin C} $

$\Leftrightarrow 2\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$

$\Leftrightarrow 2\cot A = \frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C}$

$\Leftrightarrow 2\cot A = \cot B + \cot C$