Đến nội dung

Hình ảnh

$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Một bài pth số học hay :>

Bài toán :

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :

$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$

 


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Gợi ý :

$\bullet$ Chứng minh $a.f(a)$ là scp $\forall a\in \mathbb{N}^{*}$

Thật vậy giả sử ngược lại tr0ng khai triển ra thừa số nguyên tố của $a.f(a)$ có 1 nhân tử có lũy thừa lẻ, tức tồn tại $p$ là số nguyên tố sa0 ch0 $p^{2n+1}| a.f(a)$ và $p^{2n+2}\not | a.f(a)$, lúc đó thay $b=p^{2n+2}$ vô đầu bài sẽ suy ra ngay điều vô lý.

$\bullet$ Cố gắng tính $f(1),f(2)$

$\bullet$ Từ đó suy ra $f(a)\leq a\forall a\in \mathbb{N}^{*}$, kết hợp với các dữ kiện để kẹp $a.f(a)$ và kết luận nghiệm $f(a)=a \forall a\in \mathbb{N}^{*}$

 

 


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Một bài pth số học hay :>

Bài toán :

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :

$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$

Chứng minh tương tự gợi ý ở trên suy ra: với mọi số nguyên tố (SNT) $p$ lẻ thì $pf(p)$ là số chính phương (SCP).

 

$\bullet$ Chứng minh $f(p)=p$ với mọi SNT $p$ lẻ.

 

$\bullet$ Chứng minh $f(a)=a$ với mọi $a\ge 1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-12-2022 - 20:13

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh