Một bài pth số học hay :>
Bài toán :
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :
$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$
Một bài pth số học hay :>
Bài toán :
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :
$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$
Gợi ý :
$\bullet$ Chứng minh $a.f(a)$ là scp $\forall a\in \mathbb{N}^{*}$
Thật vậy giả sử ngược lại tr0ng khai triển ra thừa số nguyên tố của $a.f(a)$ có 1 nhân tử có lũy thừa lẻ, tức tồn tại $p$ là số nguyên tố sa0 ch0 $p^{2n+1}| a.f(a)$ và $p^{2n+2}\not | a.f(a)$, lúc đó thay $b=p^{2n+2}$ vô đầu bài sẽ suy ra ngay điều vô lý.
$\bullet$ Cố gắng tính $f(1),f(2)$
$\bullet$ Từ đó suy ra $f(a)\leq a\forall a\in \mathbb{N}^{*}$, kết hợp với các dữ kiện để kẹp $a.f(a)$ và kết luận nghiệm $f(a)=a \forall a\in \mathbb{N}^{*}$
Một bài pth số học hay :>
Bài toán :
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn :
$$a.f(a)+b.f(b)+2ab\,\,\text{là số chính phương với mọi } a,b\in \mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh tương tự gợi ý ở trên suy ra: với mọi số nguyên tố (SNT) $p$ lẻ thì $pf(p)$ là số chính phương (SCP).
$\bullet$ Chứng minh $f(p)=p$ với mọi SNT $p$ lẻ.
$\bullet$ Chứng minh $f(a)=a$ với mọi $a\ge 1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-12-2022 - 20:13
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh