Chứng minh rằng $\sqrt{1+sin2x}+\sqrt{1-sin2x}\geq\sqrt{sin^2x+cos2x}+\sqrt{cos^2x-cos2x}$
$\sqrt{1+sin2x}+\sqrt{1-sin2x}\geq\sqrt{sin^2x+cos2x}+\sqrt{cos^2x-cos2x}$
#1
Đã gửi 28-04-2013 - 16:27
#2
Đã gửi 28-04-2013 - 19:53
Bình phương 2 vế lên ta dc ;
$2 + 2\sqrt{(1 + \sin2x )(1 - \sin 2x)} \geq 1 + 2\sqrt{(\sin ^{2}x + \cos 2x)(\cos ^{2}x - \cos 2x)}$
$\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{1 - \sin ^{2}2x} \geq 2\sqrt{\sin^{2}x\cos ^{2}x }$
$\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{\cos ^{2}2x} \geq \sqrt{\sin ^{2}2x}$
Đặt $\sqrt{\cos^{2}2x} = b , \sqrt{\sin ^{2}2x} = a$
$\Rightarrow 1 + 2b \geq a$ và $a^{2} + b^{2} = 1$
$\Rightarrow b(b + 2)\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$
- 19kvh97 và Issac Newton thích
EM YÊU BÁC HỒ.....
#3
Đã gửi 28-04-2013 - 21:11
Bình phương 2 vế lên ta dc ;
$2 + 2\sqrt{(1 + \sin2x )(1 - \sin 2x)} \geq 1 + 2\sqrt{(\sin ^{2}x + \cos 2x)(\cos ^{2}x - \cos 2x)}$
$\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{1 - \sin ^{2}2x} \geq 2\sqrt{\sin^{2}x\cos ^{2}x }$
$\Leftrightarrow 1 + 2\sqrt{\cos ^{2}2x} \geq \sqrt{\sin ^{2}2x}$
Đặt $\sqrt{\cos^{2}2x} = b , \sqrt{\sin ^{2}2x} = a$
$\Rightarrow 1 + 2b \geq a$ và $a^{2} + b^{2} = 1$
$\Rightarrow b(b + 2)\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$
bạn có thể giải thích rõ chỗ này ko???
#4
Đã gửi 28-04-2013 - 22:19
Bình phương 2 vế lên ta dc ;
.....
Đặt $\sqrt{\cos^{2}2x} = b , \sqrt{\sin ^{2}2x} = a$
$\Rightarrow 1 + 2b \geq a$ và $a^{2} + b^{2} = 1$
$\Rightarrow b(b + 2)\geq 0$ $\Rightarrow$ đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$
ta có $\left\{\begin{matrix} 1+2b\geq a & & \\ a^2+b^2=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+4b+4b^2\geq a^2 & & \\ a^2+b^2=1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow b(5b+4)\geq 0$ đpcm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh