Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-04-2013 - 20:26
Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-04-2013 - 20:26
Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.
Lâu lâu ko lên, diễn đàn mình thay đổi nhiều wa
$Q.e.D\Leftrightarrow \frac{yz}{x+yz}+\frac{zx}{y+zx}+\frac{xy}{z+xy}\geq \frac{3}{4}$
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$
$\sum \frac{xy}{z+xy}\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{3xyz+\sum x^{2}y^{2}}$
Như vậy ta phải chỉ ra:
$\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{3xyz+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{3}{4}$
Đến đây sử dụng giả thiết là ra.
$\sum$ là cái j thế ạ
cho VD minh họa
tàn lụi
Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.
Ta có $\frac{x}{x+yz}=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq x(\frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$
Thực hiện 3 bđt tương tự ta được đpcm.
Bài này ta đã sữ dụng bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$
Ta có $\frac{x}{x+yz}=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq x(\frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$
Thực hiện 3 bđt tương tự ta được đpcm.
Bài này ta đã sữ dụng bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$
Cái chỗ bôi đó e chưa hiểu lắm ạ,chị giải thích hộ em với.
Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh
$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.
Cách khác nhé:
$\sum \frac{x}{x+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(1-x)}{\prod (x+y)}= \frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}$
Ta cần chứng minh:
$$\frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}\leq \frac{9}{4}$$
$$\Leftrightarrow 4-4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 9\prod(x+y)$$
$$\Leftrightarrow 4+9xyz\leq 9(x+y+z)(xy+yz+zx)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 4(x+y+z)^{2}+(xy+yz+zx)(x+y+z)= 4+(xy+yz+zx)(x+y+z)$$
$$\Leftrightarrow 9xyz\leq(xy+yz+zx)(x+y+z)$$ (điều này đúng theo $AM-GM$)
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}\leq \frac{9}{4}$
Quy đồng lên ta được
$\frac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq \frac{9}{4}$
Đây là BĐT quen thuộc
$\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq \frac{9}{8}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )$
Có thể CM bằng biến đổi tương đương
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh