Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 29-04-2013 - 20:26


#2
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.

 

Lâu lâu ko lên, diễn đàn mình thay đổi nhiều wa

 

$Q.e.D\Leftrightarrow \frac{yz}{x+yz}+\frac{zx}{y+zx}+\frac{xy}{z+xy}\geq \frac{3}{4}$

 

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$

 

$\sum \frac{xy}{z+xy}\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{3xyz+\sum x^{2}y^{2}}$

 

Như vậy ta phải chỉ ra:

 

$\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{3xyz+\sum x^{2}y^{2}}\geq \frac{3}{4}$

 

Đến đây sử dụng giả thiết là ra.




#3
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

$\sum$ là cái j thế ạ

cho  VD minh họa


tàn lụi


#4
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.

Ta có $\frac{x}{x+yz}=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq x(\frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Thực hiện 3 bđt tương tự ta được đpcm.

Bài này ta đã sữ dụng bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$



#5
ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Ta có $\frac{x}{x+yz}=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}=\frac{x}{(x+y)(x+z)}\leq x(\frac{1}{4(x+y)}+\frac{1}{4(x+z)})\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Thực hiện 3 bđt tương tự ta được đpcm.

Bài này ta đã sữ dụng bổ đề: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Cái chỗ bôi đó e chưa hiểu lắm ạ,chị giải thích hộ em với.


Hình đã gửi


#6
ducthinh26032011

ducthinh26032011

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số dương thoả mãn $x+y+z=1$.Chứng minh

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$.

Cách khác nhé:

$\sum \frac{x}{x+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(1-x)}{\prod (x+y)}= \frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}$

Ta cần chứng minh:

$$\frac{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}{\prod (x+y)}\leq \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow 4-4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 9\prod(x+y)$$

$$\Leftrightarrow 4+9xyz\leq 9(x+y+z)(xy+yz+zx)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 4(x+y+z)^{2}+(xy+yz+zx)(x+y+z)= 4+(xy+yz+zx)(x+y+z)$$

$$\Leftrightarrow 9xyz\leq(xy+yz+zx)(x+y+z)$$ (điều này đúng theo $AM-GM$)


Hình đã gửi


#7
hand of god

hand of god

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )}\leq \frac{9}{4}$

Quy đồng lên ta được

 $\frac{2\left ( xy+yz+zx \right )}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}\leq \frac{9}{4}$

Đây là BĐT quen thuộc

$\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq \frac{9}{8}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )$

Có thể CM bằng biến đổi tương đương


  • NLT yêu thích




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh