Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$
$A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$
#1
Đã gửi 30-04-2013 - 10:24
#2
Đã gửi 30-04-2013 - 11:32
Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$
1 cách tổng quát thì ta có:
\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)} = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\binom{2p}{p} \quad \left( {p < n} \right) \quad (1)}\]
Tổng quát hơn nữa:
\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)} = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\sum\limits_{k = - \left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor }^{\left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor } {{{\left( { - 1} \right)}^k}\binom{2p}{p + nk}} \quad (2)} \]
Với $p,n$ là 2 số nguyên dương và ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên của số thực $x$;$\binom{n}{k}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.
Bài toán đầu topic là TH đặc biệt của $(1)$ khi cho $p=3;n=8$.
Tham khảo thêm:
lũy thừa cosine.pdf 84.78K 65 Số lần tải
- hxthanh, L Lawliet, robin997 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 30-04-2013 - 12:19
Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$
$cos^{6}\frac{\pi}{16}= sin^{6}\frac{7\pi}{16}$
$cos^{6}\frac{3\pi}{16}= sin^{6}\frac{5\pi}{16}$
$A=sin^{6}\frac{7\pi}{16}+sin^{6}\frac{5\pi}{16}+cos^{6}\frac{7\pi}{16}+cos^{6}\frac{5\pi}{16}$
$=sin^{4}\frac{7\pi}{16}-sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{5\pi}{16}-sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{4}\frac{5\pi}{16}$
$=(sin^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{2}\frac{7\pi}{16})^{2}+(cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{2}\frac{5\pi}{16})^{2}-3sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}-3sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}$
$=2-\frac{3}{4}(sin^{2}\frac{7\pi}{8}+sin^{2}\frac{5\pi}{8})$
$=2-\frac{3}{4}(\frac{1-cos\frac{14\pi}{8}+1- cos\frac{10}{8}}{2})$
$=2-\frac{3}{8}(2-(2cos\frac{3\pi}{2}cos\frac{\pi}{4})$
$=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}(sin\pi)(cos\frac{\pi}{4})$
$=\frac{5}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mystery266: 30-04-2013 - 12:44
- hxthanh yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh